Número 144

 Dia 144 de 2024  ―  23 de maio

Na imagem seguinte vê-se que

• 144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;

• há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);

• 144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.

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Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,

• 1 centena +  4 dezenas +  4 unidades
•  1 × 100    +  4 × 10        +  4 × 1
•  1 × 10²     +  4 × 10¹      +  4 × 10⁰

Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=2⁷+2⁴. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000_(dois) significando,

1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2⁰

 e 144 = 12² pelo que, na base 12 escreve-se 100_(doze) significando

1×12² + 0×12¹ + 0×12⁰    

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Como produto de números primos 144=2⁴×3² = 2×2×2×2×3×3

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144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.

Triângulos perímetro = 144	Isósceles	Escalenos
Acutângulos	29*	121
Retângulos	0	2
Obtusângulos	6	274
	*1 equilátero

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Uma vez que os retângulos (ou qualquer paralelogramo) têm os lados opostos iguais, o seu perímetro (P) é composto por dois comprimentos (C) e duas larguras (L), isto é, P= 2×(C+L). Se considerarmos retângulos com perímetro de 144 unidades de comprimento, o seu semiperímetro é 72. Encontrando todas as decomposições aditivas diferentes de 72 em duas parcelas (C+L) encontramos também todas as possibilidades de construir retângulos não congruentes de perímetro 144. Como 144 é múltiplo de 4, um desses retângulos será um quadrado. Queres ser tu a descobrir quantos são? Podes responder no comentário a esta publicação.

Número 140

 Dia 140 de 2024  ―  19 de maio

Cento e quarenta na base dez simbolicamente escreve-se 140 que significa 

• 1 centena    4 dezenas    0 unidades  
• 1 × 100        4 × 10           0 × 1
• 1 × 10²         4 × 10¹         0 × 10⁰ 

Enquanto soma de potências de base dois temos 128+8+4 = 2⁷+2³+2²

140 é um número par: pode ser representado pela área de um retângulo de 2 por 70 e também pelo perímetro de paralelogramos de medidas naturais, por exemplo, pelo quadrado de lado 35.

140 tem 12 divisores: 1 e 140, 2 e 70, 4 e 35, 5 e 28, 7 e 20, 10 e 14, ou seja, pode ser representado de seis formas diferentes como produto de dois fatores naturais. Com fatores primos 140 = 2×2×5×7. 

140 é um número piramidal, é a soma dos sete primeiros quadrados perfeitos: 1+4+9+16+25+36+49. Também pode ser escrito como soma de três quadrados perfeitos: 100+36+4.

140 é o perímetro de um triângulo retângulo cujos lados têm medidas inteiras (terno pitagórico 40, 42, 58) 40²+42²=58².

140 pode ser representado de três maneiras diferentes como soma de números naturais consecutivos (escadas numéricas): 

• 5 degraus: 26+27+28+29+30
• 7 degraus: 17+18+19+20+21+22+23
• 8 degraus: 14+15+16+17+18+19+20+21

Número 131

 Dia 131 de 2024 ― 10 de maio

131 não pertence a nenhuma daquelas sequências de números que brilham pelas representações geométricas que permitem. A razão para isso acontecer é só uma:

131 é um número primo. Enquanto área de retângulo de dimensões naturais, só do retângulo 1×131. Enquanto soma de naturais consecutivos só tem uma representação (uma escada numérica) 65+66.

No entanto, dentro da família de números primos há uns que são mais famosos do que outros, e 131 pertence, simultaneamente, a várias coleções particulares de primos. Mas deixemos isso, vejamos o que está ao nosso alcance.

Usando os algarismos de 131 para escrever outros números, só conseguimos escrever primos: 113 e 311 também são números primos. Será que há mais primos deste género?

131 pertence à sequência de Ulam. Também há uma espiral de Ulam de que já falámos a propósito do número 72 que calhou a 12 de março.

A sequência de Ulam começa a partir dos dois primeiros termos, 1 e 2; os termos seguintes são os menores que se obtêm pela soma de dois dos termos anteriores, desde que essa soma seja única.

Exemplificando: a seguir a 1 e 2, só há uma possibilidade, 2+1=3. 

O próximo termo pode ser o 4 pois apenas tem uma única maneira de se obter pela soma de dois termos distintos: 3+1. Portanto, sabe-se já os quatro primeiros termos: 1, 2, 3, 4. 

Será que o 5 pode ser o próximo? Não, porque se obtém por mais do que uma soma, nomeadamente, 4+1 e 3+2.

Será o 6? Sim, obtém-se por uma única soma: 4+2. O 7 também, mas não se considera um número maior se há outro menor que respeita a condição. Assim, os cinco primeiros termos são 1, 2, 3, 4, 6.

Será 7 o próximo? Não.: 7=6+1=4+3. Será 8? Sim, só há uma forma de obter 8=6+2.

Primeiros seis termos da sequência de Ulam: 1, 2, 3, 4, 6, 8,... ?

Está entendida a regra? Será que isto terá sempre um novo número possível, ou acontecerá, a certa altura, haver sempre mais do que uma maneira de obter o número seguinte e, consequentemente, não ser possível continuar?

Parece um bom contexto, puramente matemático, desafiante para quem gosta de sequências, desenvolver a destreza em cálculo mental.

Número 128

 Dia 128 de 2024 - 7 de maio

128 é a oitava potência de base dois e expoente inteiro (ℤ₀⁺)

Não é um quadrado perfeito, mas é soma de dois quadrados perfeitos: 2×8². A raiz quadrada de 128=11,3137... é um número irracional.

Por ser a oitava potência de base dois, 128 tem 8 divisores, e o numeral que representa 128 na base dois  tem 8 dígitos.

Na representação de 128 em base dois, na imagem acima, os dígitos estão dispostos em grupos apenas por conveniência de contagem do número de dígitos, ou de zeros . O numeral 10 000 000₍dois₎ não pode ler-se "dez milhões"  - leitura exclusiva para numerais escritos no sistema de numeração de base dez -, ou se lê "um, zero, zero,..." ou "um vezes dois elevado a sete". 

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128 não tem escadas!😞 Não há uma única soma de números naturais consecutivos que represente 128!  Porquê!? Que outros números não gozam desta propriedade?

Número 125

Dia 125 de 2024 - 4 de maio

125 tem quatro divisores {1, 125, 5, 25} tal como todos os cubos perfeitos de números primos.

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125 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de medidas naturais, pertencendo assim ao terno pitagórico (44, 117, 125); significa que 44²+117²=125²  

125 é também o quadrado da hipotenusa de dois triângulos retângulos, sendo, portanto, de dois modos diferentes, a soma de dois quadrados perfeitos: 

5² + 10² = 125 = 2² + 11² 

A raiz quadrada de 125 é pouco maior que 11.

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Sendo um múltiplo de 5, tem uma escada de 5 degraus (soma de cinco números naturais consecutivos: 23+24+25+26+27) tal como 15 e todos os múltiplos de 5 superiores. Sendo múltiplo de 5 e não de 10, então tem uma escada de 10 degraus (figura seguinte) ao alcance de uma construção com material CUISENAIRE. 

E por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus 62+63 (ou será ímpar por ser soma de dois naturais consecutivos).

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Representação binária:

1111101_(dois)

1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰  

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1