Número 9

Dia 9 de agosto de 2024 

Fiz três triângulos diferentes, com perímetro 9, usando as barras cuisenaire. Consegues fazer outros diferentes?

Outra publicação sobre o 9 aqui.

Número 214

Dia 214 de 2024, 1 de agosto

Vamos numericar com 214

214 tem apenas 4 divisores (1 e 214, 2 e 107) e somente uma escada de 4 degraus (52+53+54+55). Será que...

Número 210

Dia 210 do ano dois mil e vinte e quatro, 28 de julho.

210 e 28 são ambos números triangulares: 210 é a soma dos vinte primeiros números naturais, e 28 é a soma dos sete primeiros. Mas 210 tem a particularidade de ser também o produto de dois números naturais consecutivos.

Número 25

Sendo as medidas de comprimento dos lados números naturais, quantos triângulos com perímetro 25 é possível construir?

Outras publicações sobre o 25: aqui e aqui.

Número 190

 190 de 2024 - 8 de julho

190 é um número par porque é múltiplo de 2, sendo possível dispor 190 quadrados iguais de modo a formar um retângulo de dimensões 2 e 95, ou seja, 190 = 2 × 95. De modo semelhante, é múltiplo de 10 e 19, de 5 e 38 e de 1 e 190. 

190 é décimo nono número triangular pois é a soma dos 19 primeiros números naturais: uma escada de 19 degraus, começando no 1; além dessa escada tem mais duas, uma de 4 degraus que começa em 46 e outra de 5 degraus que começa em 36 (lindo! tirando 10 a cada um dos degraus da escada de 4 degraus, consegue-se obter 4×10, que é o número necessário para formar o quinto degrau da escada de 5 degraus).

Número 176

 dia 176 de 2024 - 24 de junho

176 só tem uma representação como soma de números naturais consecutivos: uma escada de 11 degraus

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176 é o perímetro de um triângulo retângulo cujas medidas dos lados são números naturais e constituem um terno pitagórico primitivo (48, 55, 73).

Número 165

 Dia 165 de 2024 - 13 de junho

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165 pode ser representado por três somas (diferentes) de quadrados perfeitos:

         

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165 tem sete escadas numéricas

Número 144

 Dia 144 de 2024  ―  23 de maio

Na imagem seguinte vê-se que

• 144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;

• há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);

• 144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.

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Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,

• 1 centena +  4 dezenas +  4 unidades
•  1 × 100    +  4 × 10        +  4 × 1
•  1 × 10²     +  4 × 10¹      +  4 × 10⁰

Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=2⁷+2⁴. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000_(dois) significando,

1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2⁰

 e 144 = 12² pelo que, na base 12 escreve-se 100_(doze) significando

1×12² + 0×12¹ + 0×12⁰    

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Como produto de números primos 144=2⁴×3² = 2×2×2×2×3×3

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144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.

Triângulos perímetro = 144	Isósceles	Escalenos
Acutângulos	29*	121
Retângulos	0	2
Obtusângulos	6	274
	*1 equilátero

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Uma vez que os retângulos (ou qualquer paralelogramo) têm os lados opostos iguais, o seu perímetro (P) é composto por dois comprimentos (C) e duas larguras (L), isto é, P= 2×(C+L). Se considerarmos retângulos com perímetro de 144 unidades de comprimento, o seu semiperímetro é 72. Encontrando todas as decomposições aditivas diferentes de 72 em duas parcelas (C+L) encontramos também todas as possibilidades de construir retângulos não congruentes de perímetro 144. Como 144 é múltiplo de 4, um desses retângulos será um quadrado. Queres ser tu a descobrir quantos são? Podes responder no comentário a esta publicação.

Número 140

 Dia 140 de 2024  ―  19 de maio

Cento e quarenta na base dez simbolicamente escreve-se 140 que significa 

• 1 centena    4 dezenas    0 unidades  
• 1 × 100        4 × 10           0 × 1
• 1 × 10²         4 × 10¹         0 × 10⁰ 

Enquanto soma de potências de base dois temos 128+8+4 = 2⁷+2³+2²

140 é um número par: pode ser representado pela área de um retângulo de 2 por 70 e também pelo perímetro de paralelogramos de medidas naturais, por exemplo, pelo quadrado de lado 35.

140 tem 12 divisores: 1 e 140, 2 e 70, 4 e 35, 5 e 28, 7 e 20, 10 e 14, ou seja, pode ser representado de seis formas diferentes como produto de dois fatores naturais. Com fatores primos 140 = 2×2×5×7. 

140 é um número piramidal, é a soma dos sete primeiros quadrados perfeitos: 1+4+9+16+25+36+49. Também pode ser escrito como soma de três quadrados perfeitos: 100+36+4.

140 é o perímetro de um triângulo retângulo cujos lados têm medidas inteiras (terno pitagórico 40, 42, 58) 40²+42²=58².

140 pode ser representado de três maneiras diferentes como soma de números naturais consecutivos (escadas numéricas): 

• 5 degraus: 26+27+28+29+30
• 7 degraus: 17+18+19+20+21+22+23
• 8 degraus: 14+15+16+17+18+19+20+21

Número 125

Dia 125 de 2024 - 4 de maio

125 tem quatro divisores {1, 125, 5, 25} tal como todos os cubos perfeitos de números primos.

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125 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de medidas naturais, pertencendo assim ao terno pitagórico (44, 117, 125); significa que 44²+117²=125²  

125 é também o quadrado da hipotenusa de dois triângulos retângulos, sendo, portanto, de dois modos diferentes, a soma de dois quadrados perfeitos: 

5² + 10² = 125 = 2² + 11² 

A raiz quadrada de 125 é pouco maior que 11.

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Sendo um múltiplo de 5, tem uma escada de 5 degraus (soma de cinco números naturais consecutivos: 23+24+25+26+27) tal como 15 e todos os múltiplos de 5 superiores. Sendo múltiplo de 5 e não de 10, então tem uma escada de 10 degraus (figura seguinte) ao alcance de uma construção com material CUISENAIRE. 

E por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus 62+63 (ou será ímpar por ser soma de dois naturais consecutivos).

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Representação binária:

1111101_(dois)

1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰  

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1

Número 50

 Hoje completam-se 50 anos após a Revolução dos Cravos. São 18263 dias vividos em democracia. 18263 dias perfazem exatamente 2609 semanas, pelo que estamos hoje numa 5.ª feira, tal como há 50 anos atrás.

50 é soma de quadrados perfeitos, 7² + 1² = 49 + 1 e de 5² + 5² = 25 + 25

Com isso podemos construir dois triângulos retângulos 'quase' interessantes: 

• o triângulo retângulo escaleno cujas medidas dos lados são 1, 7 e √50, 

• o triangulo retângulo isósceles com lados de medida 5, 5 e √50. 

√50 ≅ 7,071067... pouco mais que 7😉. Seria mais interessante se 50 também fosse um quadrado perfeito.

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50 não é um número triangular, mas fica 'en/cravado' entre dois números triangulares, o 45 e o 55:

Conseguimos que 50 seja a soma de números triangulares, por exemplo, 10+10+15+15.

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50 também é a soma dos quatro primeiros termos da sequência destas pirâmides:

A 4.ª pirâmide é formada pela soma dos quatro primeiros quadrados perfeitos, a 3.ª pirâmide é a soma dos três primeiros quadrados perfeitos, a 2.ª é a soma dos dois primeiros quadrados perfeitos e a 1.ª é o primeiro quadrado perfeito. 

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50 é metade de 10², tal como 5 é metade de 10¹, 500 é metade de 10³, . . . é bom saber, porque multiplicar um número N por 50 é o mesmo que pensar na metade de N × 100, ou seja,

N × 50 = N × 100 ÷ 2, assim como N × 5 = N × 10 ÷ 2, ou N × 500 = N × 1000 ÷ 2, e todos sabemos como é fácil pensar no produto de um número por 10, 100, 1000,... assim como é fácil pensar na metade de qualquer número, não? Também dividir N por 50 é o mesmo que pensar no dobro do quociente de N por 100. Contas fáceis.

O que não é tão fácil é multiplicar a democracia. 

Número 100

 Hoje é o dia 9 do mês de abril e é o dia 100 do ano 2024.

É possível construir cinco retângulos diferentes com 100 quadrados congruentes: 

Os divisores de 100 são 1 e 100, 2 e 50, 4 e 25, 5 e 20, e 10. 

A decomposição em fatores primos é 2²×5² que é igual ao produto de dois dos seus fatores 4×25. 

100 é um quadrado perfeito; é a soma dos quatro primeiros números cúbicos:

100 é o quadrado do 4.º número triangular, o qual é a soma dos quatro primeiros números naturais.

100 é a soma do quadrado de 8 com o quadrado de 6. Significa que há um triângulo retângulo com as medidas 6, 8 e 10 para os seus lados, sendo 10 a medida da hipotenusa.

No sistema de numeração de base oito, usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, cem escreve-se 144 (lê-se um, quatro, quatro na base oito). Ou seja  100 = 1 × 8² + 4 × 8¹ + 4 × 8⁰

Triângulos isoperimétricos

Há 833 decomposições de 100 em somas de três parcelas. Quantos triângulos de perímetro 100, com medidas inteiras, existem? Não há nenhum que seja equilátero porque 100 não é divisível por 3; mas o triângulo 33+33+34 fica muito perto disso.

Retângulos isoperimétricos

Com perímetro 100 e medidas inteiras é possível desenhar 25 retângulos, um deles é um quadrado de lado 25.

Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 

As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

• a soma de dois quadrados de 6. 
• a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 2⁶ + 2³ sendo 1001000 a representação na base dois.
• com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e C de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

• são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
• as de 24 são o dobro de 24
• as de 36 são o triplo de 36
• ...
• as de 72 são o sêxtuplo de 72

e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

Número 69

Nove de março de 2024 é o 69.º dia do ano.

O número 69 tem três ESCADAS. 

Por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus. E por ser um múltiplo de 3 tem uma escada de três degraus. Mas também tem uma escada de seis degraus e não é múltiplo de 6. Ele só é múltiplo de 3 e 23 e de 1 e 69. A representação dos números pelas suas ESCADAS não é uma mera curiosidade inocente, as escadas dão visibilidade a propriedades numéricas. Não querendo retirar ao leitor o prazer da descoberta, deixamos aqui só uma entre muitas questões possíveis: todos os números podem ser representados por escadas? Lembramos que uma escada é uma soma de números naturais consecutivos.

Número 10

 ·  é o 5.º número natural par (quinto porque 0, embora seja um número par, não o consideramos número natural)

              números de ordem:  1.º  2.º  3.º  4.º   5.º   6.º ...

     números naturais pares:  2     4     6     8     10   12  ...

• qualquer número par é o dobro de um número inteiro
• é um múltiplo de 2 
• pode ser representado por um retângulo de duas filas de quadrados congruentes

· tem um número par de fatores/divisores

D10 = {1, 2, 5, 10} é múltiplo de  1 e 10  2 e 5

 

Decomposição aditiva em duas parcelas  saber essencial para o domínio de processos de cálculo mental

Número 30

De entre as 75 decomposições diferentes de 30 em somas de três parcelas de números naturais, há 18 que podem constituir-se como triângulos, sendo as medidas dos lados números inteiros. Desses 18 triângulos possíveis, 7 são isósceles e 11 são escalenos; dos que são isósceles há um que é equilátero (10+10+10), e dos escalenos destaca-se um que é retângulo (5+12+13).

 

Medidas dos lados			Quadrados dos lados
a	b	c	a2	b2	c2	a2+b2
10	10	10	100	100	100	200
2	14	14	4	196	196	200
4	13	13	16	169	169	185
6	12	12	36	144	144	180
8	8	14	64	64	196	128
8	11	11	64	121	121	185
9	9	12	81	81	144	162
4	12	14	16	144	196	160
5	11	14	25	121	196	146
6	10	14	36	100	196	136
6	11	13	36	121	169	157
7	9	14	49	81	196	130
7	10	13	49	100	169	149
7	11	12	49	121	144	170
8	9	13	64	81	169	145
8	10	12	64	100	144	164
9	10	11	81	100	121	181
5	12	13	25	144	169	169

Por permitirem construir um triângulo retângulo, 5, 12 e 13 são um "terno pitagórico" e 30 é o seu perímetro. Dentro do intervalo de dias num mês, para além do 30 há outros dois números que são perímetro de triângulos em é possível construir um triângulo retângulo: o 12 com o terno 3, 4, 5 e o 24 com o terno 6, 8, 10.