Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 

As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

• a soma de dois quadrados de 6. 
• a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 2⁶ + 2³ sendo 1001000 a representação na base dois.
• com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e C de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

• são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
• as de 24 são o dobro de 24
• as de 36 são o triplo de 36
• ...
• as de 72 são o sêxtuplo de 72

e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

Número 10

 ·  é o 5.º número natural par (quinto porque 0, embora seja um número par, não o consideramos número natural)

              números de ordem:  1.º  2.º  3.º  4.º   5.º   6.º ...

     números naturais pares:  2     4     6     8     10   12  ...

• qualquer número par é o dobro de um número inteiro
• é um múltiplo de 2 
• pode ser representado por um retângulo de duas filas de quadrados congruentes

· tem um número par de fatores/divisores

D10 = {1, 2, 5, 10} é múltiplo de  1 e 10  2 e 5

 

Decomposição aditiva em duas parcelas  saber essencial para o domínio de processos de cálculo mental

Número 30

De entre as 75 decomposições diferentes de 30 em somas de três parcelas de números naturais, há 18 que podem constituir-se como triângulos, sendo as medidas dos lados números inteiros. Desses 18 triângulos possíveis, 7 são isósceles e 11 são escalenos; dos que são isósceles há um que é equilátero (10+10+10), e dos escalenos destaca-se um que é retângulo (5+12+13).

 

Medidas dos lados			Quadrados dos lados
a	b	c	a2	b2	c2	a2+b2
10	10	10	100	100	100	200
2	14	14	4	196	196	200
4	13	13	16	169	169	185
6	12	12	36	144	144	180
8	8	14	64	64	196	128
8	11	11	64	121	121	185
9	9	12	81	81	144	162
4	12	14	16	144	196	160
5	11	14	25	121	196	146
6	10	14	36	100	196	136
6	11	13	36	121	169	157
7	9	14	49	81	196	130
7	10	13	49	100	169	149
7	11	12	49	121	144	170
8	9	13	64	81	169	145
8	10	12	64	100	144	164
9	10	11	81	100	121	181
5	12	13	25	144	169	169

Por permitirem construir um triângulo retângulo, 5, 12 e 13 são um "terno pitagórico" e 30 é o seu perímetro. Dentro do intervalo de dias num mês, para além do 30 há outros dois números que são perímetro de triângulos em é possível construir um triângulo retângulo: o 12 com o terno 3, 4, 5 e o 24 com o terno 6, 8, 10. 

Número 14

Decomposições em duas parcelas