Número 220

 220.º dia de 2024, 7 de agosto

Vamos numericar 220!

Consegues encontrar um modo eficiente de contar o número de esferas que estão empilhadas?

Partilha connosco o que descobriste.

Número 190

 190 de 2024 - 8 de julho

190 é um número par porque é múltiplo de 2, sendo possível dispor 190 quadrados iguais de modo a formar um retângulo de dimensões 2 e 95, ou seja, 190 = 2 × 95. De modo semelhante, é múltiplo de 10 e 19, de 5 e 38 e de 1 e 190. 

190 é décimo nono número triangular pois é a soma dos 19 primeiros números naturais: uma escada de 19 degraus, começando no 1; além dessa escada tem mais duas, uma de 4 degraus que começa em 46 e outra de 5 degraus que começa em 36 (lindo! tirando 10 a cada um dos degraus da escada de 4 degraus, consegue-se obter 4×10, que é o número necessário para formar o quinto degrau da escada de 5 degraus).

Número 62

No dia 181 de 2024, 29 de junho, hoje, completam-se 62 anos de vida para muita gente boa. Parabéns a todos, mas em particular para aqueles que virem esta mensagem e se acusarem aí nos comentários.

Sessenta e dois não é um número espetacular. E o 181 do ano, assim como o 29 do mês são meros primos. 

Depois do 60, que é um número "altamente composto", isto é, antes dele não há nenhum que tenha tantos (12) divisores como ele, vem o 61 que só tem dois divisores (outro primo), seguido então do 62 que tem 4 divisores. 

Mas ter 4 divisores é uma particularidade interessante, não propriamente para o sessenta e dois, mas para outra família de números, muito mais interessante, que também só tem 4 divisores. Passo a explicar. Todos os números que são produto de dois números primos têm 4 divisores. Mas há números que não são produto de dois primos e que também têm 4 divisores. É a esses que eu acho mais piada, porque dá para ilustrar ou representar geometricamente. 

Vejam lá se descobrem que família de números é essa. 

Quem descobrir, por favor, não escreva nos comentários para que outros também tenham a possibilidade de pensar no assunto. A matemática só assim é que tem piada. Quem descobrir pode enviar uma mensagem através desse formulário aí do lado direito.

Obrigado.

Número 144

 Dia 144 de 2024  ―  23 de maio

Na imagem seguinte vê-se que

• 144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;

• há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);

• 144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.

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Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,

• 1 centena +  4 dezenas +  4 unidades
•  1 × 100    +  4 × 10        +  4 × 1
•  1 × 10²     +  4 × 10¹      +  4 × 10⁰

Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=2⁷+2⁴. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000_(dois) significando,

1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2⁰

 e 144 = 12² pelo que, na base 12 escreve-se 100_(doze) significando

1×12² + 0×12¹ + 0×12⁰    

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Como produto de números primos 144=2⁴×3² = 2×2×2×2×3×3

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144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.

Triângulos perímetro = 144	Isósceles	Escalenos
Acutângulos	29*	121
Retângulos	0	2
Obtusângulos	6	274
	*1 equilátero

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Uma vez que os retângulos (ou qualquer paralelogramo) têm os lados opostos iguais, o seu perímetro (P) é composto por dois comprimentos (C) e duas larguras (L), isto é, P= 2×(C+L). Se considerarmos retângulos com perímetro de 144 unidades de comprimento, o seu semiperímetro é 72. Encontrando todas as decomposições aditivas diferentes de 72 em duas parcelas (C+L) encontramos também todas as possibilidades de construir retângulos não congruentes de perímetro 144. Como 144 é múltiplo de 4, um desses retângulos será um quadrado. Queres ser tu a descobrir quantos são? Podes responder no comentário a esta publicação.

Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 

As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

• a soma de dois quadrados de 6. 
• a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 2⁶ + 2³ sendo 1001000 a representação na base dois.
• com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e C de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

• são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
• as de 24 são o dobro de 24
• as de 36 são o triplo de 36
• ...
• as de 72 são o sêxtuplo de 72

e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

Número 10

 ·  é o 5.º número natural par (quinto porque 0, embora seja um número par, não o consideramos número natural)

              números de ordem:  1.º  2.º  3.º  4.º   5.º   6.º ...

     números naturais pares:  2     4     6     8     10   12  ...

• qualquer número par é o dobro de um número inteiro
• é um múltiplo de 2 
• pode ser representado por um retângulo de duas filas de quadrados congruentes

· tem um número par de fatores/divisores

D10 = {1, 2, 5, 10} é múltiplo de  1 e 10  2 e 5

 

Decomposição aditiva em duas parcelas  saber essencial para o domínio de processos de cálculo mental

Número 6

  

·       pode ser representado por 2 retângulos de área 6 e dimensões inteiras: 1 por 6 e 2 por 3 ·       tem dois pares de fatores/divisores 1×6 2×3 ·       a soma dos seus divisores próprios             é igual a si 1 + 2 + 3 = 6             por isso é chamado número perfeito
Dentro do intervalo dos dias do mês existe outro número perfeito.

Número 2024

2024 é o 1012º termo da sequência dos números pares.

           é o 22º termo da sequência dos números tetraédricos:

Imagem do número tetraédrico de ordem 4

Um dado termo n da sequência dos tetraédricos resulta da soma dos n primeiros termos da sequência dos números triangulares, o qual se obtém pela soma dos n primeiros números naturais. 

fonte: wolframalpha.com

Número 25

É um número natural ímpar, é soma de dois números naturais consecutivos 12+13.

É um quadrado perfeito, 5 × 5 = 5² = 25.

Os retângulos 1×25 e 5×5 apresentam os seus divisores formando o seguinte conjunto: 

D25 = {1, 25, 5}

Relações numéricas envolvendo 25

É metade de 50, ou seja, em linguagem matemática, 25 = 50 ÷ 2

É a quarta parte de 100,   25 = 1/4 × 100

É o quadrado de 5,    25 = 5² 

É a raiz quadrada de 625,

Como se pode multiplicar por 25?

Multiplicando por 100 e dividindo por 4 esse produto, como mostra o exemplo: 

2024 × 25 = ( 2024 × 100 ) ÷ 4 = 

                    = 202400 ÷ 4 = 101200 ÷ 2 = 

                    = (100 000 + 1200 ) ÷ 2 = 

                    = 50 000 + 600 = 50 600

Como se pode dividir por 25?

Dividindo por 100 e multiplicando o quociente obtido por 4, como ilustra o exemplo:

2025 ÷ 25 = 2025 ÷ 100 x 4 = 20,25 × 4 = 40,5 × 2 = 81

Os múltiplos de 25 não superiores a 100 e não nulos são: 25, 50, 75 e 100.

De acordo com a propriedade transitiva da relação "múltiplo de", compreende-se que todo o múltiplo de 100 é também múltiplo de 25; pode compreender-se ainda que qualquer número natural superior a 100, se nas posições das dezenas e unidades figurar 00, 25, 50 ou 75, é um múltiplo de 25.

Número 22

                        22 = 1 × 22             22 = 11 × 2

                        22 ÷ 1 = 22             22 ÷ 11 = 2

                        22 ÷ 22 = 1             22 ÷ 2 = 11

                        tem dois pares de fatores/divisores, 1 e 22, 2 e 11

                        é par porque é múltiplo de 2, ou divisível por 2

Número 16

Retângulos de área 16 e dimensões inteiras:

Todos os fatores/divisores de 16 são potências de base 2 e expoente natural.

Representação binária: 2⁴

 

Número 15

As escadas do 15 são três: com cinco, três e dois degraus como ilustrado na imagem.

15 é ímpar: todos os números, maiores que 1, 

                                   com escadas de 2 degraus, são ímpares;  

            nenhum número par é soma de dois números consecutivos.

 As decomposições do 15 em somas de duas parcelas:

1+14  =  2+13  =  3+12  =  4+11  =  5+10  =  6+9  =  7+8  =  15