terça-feira, 31 de dezembro de 2024
segunda-feira, 29 de julho de 2024
Número 29
Estamos perto do fim do 211.º dia de dois mil e vinte e quatro, 29.º de julho.
Vinte e nove e duzentos e onze são números primos ou, dito de outro modo, números de prima importância, pois só há uma forma de os representar como um produto de dois números naturais: 1×29 e 1×211 respetivamente.
Tal como todos os restantes números ímpares, podem ser representados como soma de dois números naturais consecutivos, 14+15 e 105+106, mas por serem primos, não admitem mais nenhuma representação dessa natureza (soma de números naturais consecutivos).
29 é um termo de um terno pitagórico primitivo (20, 21, 29), três medidas naturais de comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Sabemos que o triângulo que tem estas medidas é retângulo porque é verdadeira a afirmação de que 20²+21²=29².
quinta-feira, 23 de maio de 2024
Número 144
Dia 144 de 2024 ― 23 de maio
Na imagem seguinte vê-se que
- 144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;
- há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);
- 144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.
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Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,
- 1 centena + 4 dezenas + 4 unidades
- 1 × 100 + 4 × 10 + 4 × 1
- 1 × 10² + 4 × 10¹ + 4 × 10⁰
Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=27+24. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000(dois) significando,
1×27 + 0×26 + 0×25 + 1×24 + 0×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20
e 144 = 122 pelo que, na base 12 escreve-se 100(doze) significando
1×122 + 0×121 + 0×120
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Como produto de números primos 144=24×32 = 2×2×2×2×3×3
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144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.
Triângulos perímetro = 144 |
Isósceles |
Escalenos |
Acutângulos |
29* |
121 |
Retângulos |
0 |
2 |
Obtusângulos |
6 |
274 |
|
*1 equilátero |
|
domingo, 19 de maio de 2024
Número 140
Dia 140 de 2024 ― 19 de maio
Cento e quarenta na base dez simbolicamente escreve-se 140 que significa
- 1 centena 4 dezenas 0 unidades
- 1 × 100 4 × 10 0 × 1
- 1 × 10² 4 × 10¹ 0 × 10⁰
Enquanto soma de potências de base dois temos 128+8+4 = 2⁷+2³+2²
140 é um número par: pode ser representado pela área de um retângulo de 2 por 70 e também pelo perímetro de paralelogramos de medidas naturais, por exemplo, pelo quadrado de lado 35.
140 tem 12 divisores: 1 e 140, 2 e 70, 4 e 35, 5 e 28, 7 e 20, 10 e 14, ou seja, pode ser representado de seis formas diferentes como produto de dois fatores naturais. Com fatores primos 140 = 2×2×5×7.
140 é um número piramidal, é a soma dos sete primeiros quadrados perfeitos: 1+4+9+16+25+36+49. Também pode ser escrito como soma de três quadrados perfeitos: 100+36+4.
140 é o perímetro de um triângulo retângulo cujos lados têm medidas inteiras (terno pitagórico 40, 42, 58) 40²+42²=58².
140 pode ser representado de três maneiras diferentes como soma de números naturais consecutivos (escadas numéricas):
- 5 degraus: 26+27+28+29+30
- 7 degraus: 17+18+19+20+21+22+23
- 8 degraus: 14+15+16+17+18+19+20+21

sábado, 4 de maio de 2024
Número 125
Dia 125 de 2024 - 4 de maio
125 tem quatro divisores {1, 125, 5, 25} tal como todos os cubos perfeitos de números primos.
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125 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de medidas naturais, pertencendo assim ao terno pitagórico (44, 117, 125); significa que 44²+117²=125²
125 é também o quadrado da hipotenusa de dois triângulos retângulos, sendo, portanto, de dois modos diferentes, a soma de dois quadrados perfeitos:
5² + 10² = 125 = 2² + 11²
A raiz quadrada de 125 é pouco maior que 11.
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Sendo um múltiplo de 5, tem uma escada de 5 degraus (soma de cinco números naturais consecutivos: 23+24+25+26+27) tal como 15 e todos os múltiplos de 5 superiores. Sendo múltiplo de 5 e não de 10, então tem uma escada de 10 degraus (figura seguinte) ao alcance de uma construção com material CUISENAIRE.
E por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus 62+63 (ou será ímpar por ser soma de dois naturais consecutivos).
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Representação binária:
1111101(dois)
1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
sábado, 30 de dezembro de 2023
Número 30
De entre as 75 decomposições diferentes de 30 em somas de três parcelas de números naturais, há 18 que podem constituir-se como triângulos, sendo as medidas dos lados números inteiros. Desses 18 triângulos possíveis, 7 são isósceles e 11 são escalenos; dos que são isósceles há um que é equilátero (10+10+10), e dos escalenos destaca-se um que é retângulo (5+12+13).
Medidas dos lados |
Quadrados dos lados |
|||||
a |
b |
c |
a2 |
b2 |
c2 |
a2+b2 |
10 |
10 |
10 |
100 |
100 |
100 |
200 |
2 |
14 |
14 |
4 |
196 |
196 |
200 |
4 |
13 |
13 |
16 |
169 |
169 |
185 |
6 |
12 |
12 |
36 |
144 |
144 |
180 |
8 |
8 |
14 |
64 |
64 |
196 |
128 |
8 |
11 |
11 |
64 |
121 |
121 |
185 |
9 |
9 |
12 |
81 |
81 |
144 |
162 |
4 |
12 |
14 |
16 |
144 |
196 |
160 |
5 |
11 |
14 |
25 |
121 |
196 |
146 |
6 |
10 |
14 |
36 |
100 |
196 |
136 |
6 |
11 |
13 |
36 |
121 |
169 |
157 |
7 |
9 |
14 |
49 |
81 |
196 |
130 |
7 |
10 |
13 |
49 |
100 |
169 |
149 |
7 |
11 |
12 |
49 |
121 |
144 |
170 |
8 |
9 |
13 |
64 |
81 |
169 |
145 |
8 |
10 |
12 |
64 |
100 |
144 |
164 |
9 |
10 |
11 |
81 |
100 |
121 |
181 |
5 |
12 |
13 |
25 |
144 |
169 |
169 |
sexta-feira, 29 de dezembro de 2023
Número 29
29 é um número primo. Vejamos um processo muito interessante para encontrar os primeiros números primos - o crivo de Eratóstenes - além de permitir identificar os números primos, ajuda a entender o que são.
domingo, 17 de dezembro de 2023
Número 17
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Outras
decomposições destacando o 10 10 + 7 |