Número 100

 Hoje é o dia 9 do mês de abril e é o dia 100 do ano 2024.

É possível construir cinco retângulos diferentes com 100 quadrados congruentes: 

Os divisores de 100 são 1 e 100, 2 e 50, 4 e 25, 5 e 20, e 10. 

A decomposição em fatores primos é 2²×5² que é igual ao produto de dois dos seus fatores 4×25. 

100 é um quadrado perfeito; é a soma dos quatro primeiros números cúbicos:

100 é o quadrado do 4.º número triangular, o qual é a soma dos quatro primeiros números naturais.

100 é a soma do quadrado de 8 com o quadrado de 6. Significa que há um triângulo retângulo com as medidas 6, 8 e 10 para os seus lados, sendo 10 a medida da hipotenusa.

No sistema de numeração de base oito, usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, cem escreve-se 144 (lê-se um, quatro, quatro na base oito). Ou seja  100 = 1 × 8² + 4 × 8¹ + 4 × 8⁰

Triângulos isoperimétricos

Há 833 decomposições de 100 em somas de três parcelas. Quantos triângulos de perímetro 100, com medidas inteiras, existem? Não há nenhum que seja equilátero porque 100 não é divisível por 3; mas o triângulo 33+33+34 fica muito perto disso.

Retângulos isoperimétricos

Com perímetro 100 e medidas inteiras é possível desenhar 25 retângulos, um deles é um quadrado de lado 25.

Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 

As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

• a soma de dois quadrados de 6. 
• a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 2⁶ + 2³ sendo 1001000 a representação na base dois.
• com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e C de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

• são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
• as de 24 são o dobro de 24
• as de 36 são o triplo de 36
• ...
• as de 72 são o sêxtuplo de 72

e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

Número 12

       Com 12 quadrados iguais, quantos retângulos diferentes?

1 fila de 12                2 filas de 6         3 filas de 4

12 é um número par - admite um retângulo de 2 linhas: é múltiplo de 2 

      Com 12 clipes, quantos paralelogramos (retângulos?)?

1+5 + 1+5 = 6+6   2 × (1+5) = 2 × 6 2+4 + 2+4 = 6+6  2 × (2+4) = 2 × 6 3+3+3+3 = 6+6         4 × 3 = 2 × 6   Todos os paralelogramos têm perímetro 12   o semiperímetro é 6 12 é par, é múltiplo de 2

       Com 12 clipes, quantos triângulos?

	Isósceles Perímetro 12 = 5+5+2                             = 2×5+2
	Isósceles (equilátero)  Perímetro 12 = 4+4+4                             = 3×4 12 é múltiplo de 3
	Escaleno - retângulo  Perímetro 12 = 3 + 4 + 5 O triângulo com lados 3, 4, 5 é retângulo porque se verifica que 32 + 42 = 52 como se mostra abaixo.

Chamam-se ternos pitagóricos a três quaisquer números naturais a, b, c, que verificam a igualdade  a² + b² = c² .