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terça-feira, 12 de março de 2024

Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 


As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

  • a soma de dois quadrados de 6. 
  • a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 26 + 23 sendo 1001000 a representação na base dois.
  • com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

  • são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
  • as de 24 são o dobro de 24
  • as de 36 são o triplo de 36
  • ...
  • as de 72 são o sêxtuplo de 72
e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

terça-feira, 12 de dezembro de 2023

Número 12

       Com 12 quadrados iguais, quantos retângulos diferentes?

     1 fila de 12        

       2 filas de 6 

       3 filas de 4

12 é um número par - admite um retângulo de 2 linhas: é múltiplo de 2 


      Com 12 clipes, quantos paralelogramos (retângulos?)?



 

 

1+5 + 1+5 = 6+6

  2 × (1+5) = 2 × 6




2+4 + 2+4 = 6+6

 2 × (2+4) = 2 × 6





3+3+3+3 = 6+6

        4 × 3 = 2 × 6  


Todos os paralelogramos
têm perímetro 12  
o semiperímetro é 6

12 é par, é múltiplo de 2

       Com 12 clipes, quantos triângulos?


Isósceles

Perímetro 12 = 5+5+2 

                           = 2×5+2

 

Isósceles (equilátero

Perímetro 12 = 4+4+4 

                           = 4

12 é múltiplo de 3

 

Escaleno - retângulo 

Perímetro 12 = 3 + 4 + 5


O triângulo com lados 345 é retângulo porque se verifica que 32 + 42 = 52 como se mostra abaixo.


Chamam-se ternos pitagóricos a três quaisquer números naturais a, b, c, que verificam a igualdade  a2 + b2 = c2 .