Quantos triângulos é possível construir para um dado perímetro, considerando medidas naturais para o comprimento dos lados?
A imagem seguinte mostra o resultado conseguido para um perímetro de 24 unidades.
Esta atividade, mantendo-se dentro do conjunto dos números naturais, é adequada aos primeiros anos de escolaridade e fornece um contexto para a aprendizagem de diferentes conhecimentos e ao desenvolvimento de capacidades importantes para o conhecimento matemático.
Dá sentido à adição, especificamente, à decomposição aditiva em 3 parcelas. A pergunta pode ser, quantas decomposições diferentes, em soma de três parcelas, tem um dado número? O 24 tem 48 decomposições, mas apenas 12 podem ser tomadas para construir triângulos. A procura de todas as decomposições e conseguir garantir que foram todas encontradas é uma oportunidade para o desenvolvimento da capacidade de trabalhar de forma sistemática e com método, organizando as decomposições por ordem, mantendo um lado constante e variando os outros dois. Naturalmente, este é um trabalho que promove o desenvolvimento do cálculo mental, sobretudo quando se...
... procura identificar quais das decomposições permitem construir um triângulo. Sim, é preciso que a soma das duas parcelas menores seja maior que a terceira. Chama-se a isto a desigualdade triangular. Este é o contexto matemático significativo para descobrir essa propriedade dos triângulos. E nesta descoberta se pode também refletir que alterar a ordem das parcelas não conduz a triângulos diferentes.
Tendo entrado na geometria, mais especificamente, no campo dos triângulos, aparece inevitavelmente a classificação dos ângulos e dos triângulos com base nesse critério. Há um triângulo de perímetro 24, o triângulo 6+8+10, que tem um ângulo reto, assim como o triângulo 3+4+5, com perímetro 12.
O Teorema de Pitágoras é o que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Fala-se de catetos e hipotenusa apenas no contextos dos triângulos retângulos, ou seja, só triângulos retângulos têm direito a catetos e hipotenusa. Naturalmente, a hipotenusa é sempre maior que os catetos.
No intervalo numérico natural de um mês, há três triângulos retângulos.
Perímetro
|
12
|
24
|
30
|
Triângulo
|
3 + 4 + 5
|
6 + 8 + 10
|
5 + 12 + 13
|
Teorema de Pitágoras
(igualdade)
|
32 + 42 = 52
|
62 + 82 = 102
|
52 + 122 = 132
|
9 + 16 = 25
|
36 + 64 = 100
|
25 + 144 = 169
|
O que acontecerá se sairmos do mundo dos triângulos retângulos com o Teorema de Pitágoras nas mãos? Tomemos à experiência os triângulos 7+8+9 e 5+8+11.
Triângulo |
7 + 8 + 9 |
5 + 8 + 11 |
desigualdade |
72 + 82 ? 92 |
52 + 82 ? 112 |
49 + 64 > 81 |
25 + 64 < 121 |
O que significa a desigualdade? Procure na figura 1 os triângulos 7+8+9 e 5+8+11. Que lhe parece? Não é difícil perceber que um é acutângulo e o outro obtusângulo. Temos assim nas mãos, uma ferramenta que nos permite identificar se o triângulo é retângulo e, não sendo, se é acutângulo ou obtusângulo.
A geometria é o contexto natural da medida, mas esta brincadeira iniciada na decomposição de um número natural em três parcelas, também naturais, é uma entrada na geometria pela mão da aritmética.
A tabela que se segue apresenta todos os casos para perímetros de 3 a 31 unidades. Optámos por evidenciar a classificação quanto aos ângulos já que a classificação quanto aos lados é mais facilmente observada na medida dos lados.
Perímetro
|
Triângulos
|
Acutângulos
|
Obtusângulos
|
Retângulos
|
3
|
1
|
1 + 1 + 1
|
|
|
5
|
1
|
1 + 2 + 2
|
|
|
6
|
1
|
2 + 2 + 2
|
|
|
7
|
2
|
1 + 3 + 3
|
2 + 2 + 3
|
|
8
|
1
|
2 + 3 + 3
|
|
|
9
|
3
|
1 + 4 + 4
3 + 3 + 3
|
2 + 3 + 4
|
|
10
|
2
|
2 + 4 + 4
3 + 3 + 4
|
|
|
11
|
4
|
1 + 5 + 5
3 + 4 + 4
|
2 + 4 + 5
3 + 3 + 5
|
|
12
|
3
|
2 + 5 + 5
4 + 4 + 4
|
|
3 + 4 + 5
|
13
|
5
|
1 + 6 + 6
2 + 5 + 6
3 + 4 + 6
3 + 5 + 5
4 + 4 + 5
|
|
|
14
|
4
|
2 + 6 + 6
4 + 5 + 5
|
3 + 5 + 6
4 + 4 + 6
|
|
15
|
7
|
1 + 7 + 7
3 + 6 + 6
4 + 5 + 6
5 + 5 + 5
|
2 + 6 + 7
3 + 5 + 7
4 + 4 + 7
|
|
16
|
5
|
2 + 7 + 7
4 + 6 + 6
5 + 5 + 6
|
3 + 6 + 7
4 + 5 + 7
|
|
17
|
8
|
1 + 8 + 8
3 + 7 + 7
4 + 6 + 7
5 + 5 + 7
5 + 6 + 6
|
2 + 7 + 8
3 + 6 + 8
4 + 5 + 8
|
|
18
|
7
|
2 + 8 + 8
4 + 7 + 7
5 + 6 + 7
6 + 6 + 6
|
3 + 7 + 8
4 + 6 + 8
5 + 5 + 8
|
|
19
|
10
|
1 + 9 + 9
3 + 8 + 8
4 + 7 + 8
5 + 7 + 7
6 + 6 + 7
|
2 + 8 + 9
3 + 7 + 9
4 + 6 + 9
5 + 5 + 9
5 + 6 + 8
|
|
20
|
8
|
2 + 9 + 9
4 + 8 + 8
5 + 7 + 8
6 + 7 + 7
6 + 6 + 8
|
3 + 8 + 9
4 + 7 + 9
5 + 6 + 9
|
|
21
|
12
|
1 + 10 + 10
3 + 9 + 9
5 + 8 + 8
6 + 7 + 8
7 + 7 + 7
|
2 + 9 + 10
3 + 8 10
4 + 8 9
4 + 7 10
5 + 7 9
5 + 6 + 10
6 + 6 + 9
|
|
22
|
10
|
2 + 10 + 10
4 + 9 + 9
5 + 8 + 9
6 + 8 + 8
6 + 7 + 9
7 + 7 + 8
|
3 + 9 + 10
4 + 8 + 10
5 + 7 + 10
6 + 6 + 10
|
|
23
|
14
|
1 + 11 + 11
3 + 10 + 10
5 + 9 + 9
6 + 8 + 9
7 + 7 + 9
7 + 8 + 8
|
2 + 10 + 11
3 + 9 + 11
4 + 8 + 11
4 + 9 + 10
5 + 7 + 11
5 + 8 + 10
6 + 6 + 11
6 + 7 + 10
|
|
24
|
12
|
2 + 11 + 11
4 + 10 + 10
5 + 9 + 10
6 + 9 + 9
7 + 8 + 9
8 + 8 + 8
|
3 + 10 + 11
4 + 9 + 11
5 + 8 + 11
6 + 7 + 11
7 + 7 + 10
|
6 + 8 + 10
|
25
|
16
|
1 + 12 + 12
3 + 11 + 11
5 + 10 + 10
6 + 9 + 10
7 + 9 + 9
7 + 8 + 10
8 + 8 + 9
|
2 + 11 + 12
3 + 10 + 12
4 + 10 + 11
4 + 9 + 12
5 + 9 + 11
5 + 8 + 12
6 + 8 + 11
6 + 7 + 12
7 + 7 + 11
|
|
26
|
14
|
2 + 12 + 12
4 + 11 + 11
5 + 10 + 11
6 + 10 + 10
7 + 9 + 10
8 + 9 + 9
8 + 8 + 10
|
3 + 11 + 12
4 + 10 + 12
5 + 9 + 12
6 + 9 + 11
6 + 8 + 12
7 + 8 + 11
7 + 7 + 12
|
|
27
|
19
|
1 + 13 + 13
3 + 12 + 12
5 + 11 + 11
6 + 10 + 11
7 + 10 + 10
7 + 9 + 11
8 + 9 + 10
8 + 8 + 11
9 + 9 + 9
|
2 + 12 + 13
3 + 11 + 13
4 + 11 + 12
4 + 10 + 13
5 + 10 + 12
5 + 9 + 13
6 + 9 + 12
6 + 8 + 13
7 + 8 + 12
7 + 7 + 13
|
|
28
|
16
|
2 + 13 + 13
4 + 12 + 12
5 + 11 + 12
6 + 11 + 11
7 + 10 + 11
8 + 10 + 10
8 + 9 + 11
9 + 9 + 10
|
3 + 12 + 13
4 + 11 + 13
5 + 10 + 13
6 + 10 + 12
6 + 9 + 13
7 + 9 + 12
7 + 8 + 13
8 + 8 + 12
|
|
29
|
21
|
1 + 14 + 14
3 + 13 + 13
5 + 12 + 12
6 + 11 + 12
7 + 11 + 11
7 + 10 + 12
8 + 10 + 11
8 + 9 + 12
9 + 10 + 10
9 + 9 + 11
|
2 + 13 + 14
3 + 12 + 14
4 + 12 + 13
4 + 11 + 14
5 + 11 + 13
5 + 10 + 14
6 + 10 + 13
6 + 9 + 14
7 + 9 + 13
7 + 8 + 14
8 + 8 + 13
|
|
30
|
19
|
2 + 14 + 14
4 + 13 + 13
6 + 12 + 12
7 + 11 + 12
8 + 11 + 11
8 + 10 + 12
9 + 10 + 11
9 + 9 + 12
10 + 10 + 10
|
3 + 13 + 14
4 + 12 + 14
5 + 11 + 14
6 + 11 + 13
6 + 10 + 14
7 + 10 + 13
7 + 9 + 14
8 + 9 + 13
8 + 8 + 14
|
5 + 12 + 13
|
31
|
24
|
1 + 15 + 15
3 + 14 + 14
5 + 13 + 13
6 + 12 + 13
7 + 12 + 12
7 + 11 + 13
8 + 11 + 12
9 + 11 + 11
9 + 10 + 12
10 + 10 + 11
|
2 + 14 + 15
3 + 13 + 15
4 + 13 + 14
4 + 12 + 15
5 + 12 + 14
5 + 11 + 15
6 + 11 + 14
6 + 10 + 15
7 + 10 + 14
7 + 9 + 15
8 + 10 + 13
8 + 9 + 14
8 + 8 + 15
9 + 9 + 13
|
|