Número 25

Sendo as medidas de comprimento dos lados números naturais, quantos triângulos com perímetro 25 é possível construir?

Outras publicações sobre o 25: aqui e aqui.

Número 120

 Hoje, 29 de abril, é o 120.º dia do ano 2024. O número 120 é rico em predicados.

É o menor número com 16 divisores. A soma dos seus divisores é um número interessante, 360; se não contarmos com 120 a soma será 240, outro número interessante, pelo menos no que se refere à quantidade de divisores. 

____________________

120 não é um quadrado perfeito mas está perto. E é uma soma de três quadrados.

11² − 1                                                 10²+4²+2² 

 

________________________

É um número triangular (que facilmente se constrói com barras cuisenaire) pela soma dos quinze primeiros números naturais. É também um número tetraédrico, que se constrói como uma soma dos oito primeiros números triangulares.

   

 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15                 1+3+6+10+15+21+28+36

_______________________________

120 pode ser escrito de 1200 maneiras diferentes como uma soma de 3 parcelas de números naturais. Por exemplo, 40+40+40 ou 30+40+50. A pergunta interessante é, quantas destas somas permitem, em virtude da desigualdade triangular, construir triângulos. As duas que referimos antes formam, respetivamente, um triângulo equilátero e um triângulo retângulo. Vejamos quantos mais triângulos de perímetro 120 podem ser construídos:

Há 3 triângulos retângulos, portanto, três ternos pitagóricos: (20, 48, 52), (24, 45, 51) e (30, 40, 50). Todos são "múltiplos" de ternos primitivos, respetivamente (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (3, 4, 5).

Número 7

 7 é um número ímpar

1+1+5 1+2+4 1+3+3 2+2+3

para obter um número ímpar, numa soma de três parcelas, ou são todas ímpares, ou só uma pode ser ímpar.

• Considerando apenas medidas inteiras na construção de triângulos isoperimétricos, 
• com perímetro par é impossível obter triângulos isósceles com lado 1
• com perímetro ímpar, os triângulos isósceles 
• ou têm os três lados com medida ímpar, ou apenas um

Número 17

 

8+9 é a escada de 2 degraus do 17 17 é um número primo porque só possui uma escada, que tem apenas 2 degraus (o 2 é uma exceção, é primo mas não tem escada)   17 é número ímpar pois é soma de dois números consecutivos Outras decomposições destacando o 10 10 + 7        10 + 6+1          10 + 1+6 10 + 5+2          10 + 2+5 10 + 4+3          10 + 3+4

Número 12

       Com 12 quadrados iguais, quantos retângulos diferentes?

1 fila de 12                2 filas de 6         3 filas de 4

12 é um número par - admite um retângulo de 2 linhas: é múltiplo de 2 

      Com 12 clipes, quantos paralelogramos (retângulos?)?

1+5 + 1+5 = 6+6   2 × (1+5) = 2 × 6 2+4 + 2+4 = 6+6  2 × (2+4) = 2 × 6 3+3+3+3 = 6+6         4 × 3 = 2 × 6   Todos os paralelogramos têm perímetro 12   o semiperímetro é 6 12 é par, é múltiplo de 2

       Com 12 clipes, quantos triângulos?

	Isósceles Perímetro 12 = 5+5+2                             = 2×5+2
	Isósceles (equilátero)  Perímetro 12 = 4+4+4                             = 3×4 12 é múltiplo de 3
	Escaleno - retângulo  Perímetro 12 = 3 + 4 + 5 O triângulo com lados 3, 4, 5 é retângulo porque se verifica que 32 + 42 = 52 como se mostra abaixo.

Chamam-se ternos pitagóricos a três quaisquer números naturais a, b, c, que verificam a igualdade  a² + b² = c² .