NUMERICAR: Sequência de Fibonacci

Mostrar mensagens com a etiqueta Sequência de Fibonacci. Mostrar todas as mensagens

terça-feira, 20 de agosto de 2024

Número 233

dia 233 de 2024, 20 de agosto

O número 233 pertence à sequência de Fibonacci, é o 13.º termo.

Não vamos mostrar uma imagem que represente 233 na sequência de Fibonacci, (podem ver representações de outros números aqui) vamos antes mostrar um exemplo da presença desta sequência na natureza.

No mesmo ananás, nascido nos Açores, identificamos os termos 5, 8 e 13 na contagem de espirais visíveis na 'casca'.

Perdoem-nos a 'rusticidade das nossas imagens´, fruto das ferramentas elementares que sabemos usar.

Espetámos um alfinete em cada frutilho de modo a poder desenhar o braço da espiral usando um fio. Depois de fotografar essas espirais, na edição da imagem, usando a ferramenta de desenho, traçámos uma linha colorida sobre os fios para lhes dar maior visibilidade.

Encontrámos 5 espirais, descendo com uma ligeira inclinação no sentido horário, conforme a imagem seguinte.

Em sentido anti-horário, também descendo com ligeira inclinação podemos contar 8 espirais, conforme a imagem seguinte.

Voltando ao sentido horário, mas agora com acentuada inclinação é possível contar 13 espirais.

Há cores repetidas: a preta na 1.ª e 10.ª espirais, a encarnada na 3.ª e 8.ª espirais, a verde na 4.ª e 9.ª, azul na 6.ª e 13.ª, a branca na 7.ª e 12.ª. Portanto, a sequência de cores é Preta, Laranja, Encarnada, Verde, Amarela, Azul, Branca, Encarnada, Verde, Preta, Roxa, Branca e Azul.

quinta-feira, 23 de maio de 2024

Número 144

Dia 144 de 2024 ― 23 de maio

Na imagem seguinte vê-se que

144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;

há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);

144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.

_______________________

Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,

1 centena + 4 dezenas + 4 unidades
1 × 100 + 4 × 10 + 4 × 1
1 × 10² + 4 × 10¹ + 4 × 10⁰

Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=2⁷+2⁴. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000_(dois) significando,

1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2⁰

e 144 = 12² pelo que, na base 12 escreve-se 100_(doze) significando

1×12² + 0×12¹ + 0×12⁰

_________________________

Como produto de números primos 144=2⁴×3² = 2×2×2×2×3×3

_________________________

144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.

Triângulos perímetro = 144	Isósceles	Escalenos
Acutângulos	29*	121
Retângulos	0	2
Obtusângulos	6	274
	*1 equilátero

______________________

Uma vez que os retângulos (ou qualquer paralelogramo) têm os lados opostos iguais, o seu perímetro (P) é composto por dois comprimentos (C) e duas larguras (L), isto é, P= 2×(C+L). Se considerarmos retângulos com perímetro de 144 unidades de comprimento, o seu semiperímetro é 72. Encontrando todas as decomposições aditivas diferentes de 72 em duas parcelas (C+L) encontramos também todas as possibilidades de construir retângulos não congruentes de perímetro 144. Como 144 é múltiplo de 4, um desses retângulos será um quadrado. Queres ser tu a descobrir quantos são? Podes responder no comentário a esta publicação.