Número 220

 220.º dia de 2024, 7 de agosto

Vamos numericar 220!

Consegues encontrar um modo eficiente de contar o número de esferas que estão empilhadas?

Partilha connosco o que descobriste.

Número 190

 190 de 2024 - 8 de julho

190 é um número par porque é múltiplo de 2, sendo possível dispor 190 quadrados iguais de modo a formar um retângulo de dimensões 2 e 95, ou seja, 190 = 2 × 95. De modo semelhante, é múltiplo de 10 e 19, de 5 e 38 e de 1 e 190. 

190 é décimo nono número triangular pois é a soma dos 19 primeiros números naturais: uma escada de 19 degraus, começando no 1; além dessa escada tem mais duas, uma de 4 degraus que começa em 46 e outra de 5 degraus que começa em 36 (lindo! tirando 10 a cada um dos degraus da escada de 4 degraus, consegue-se obter 4×10, que é o número necessário para formar o quinto degrau da escada de 5 degraus).

Número 183

dia 183 de 2024 - 1 de julho

O dia 1 de julho de 2024 é o último da primeira metade do ano. Completam-se 183 dias desde 1 de janeiro, metade dos 366 dias de 2024. O próximo ano não é bissexto, terá 365 dias, e metade corresponde a 182 dias e meio, sendo assim o fim da primeira metade do ano (e o início da segunda) acontecerá às 12 horas de dia 2 de julho de 2025.

183 é produto de dois números primos, 3 × 61, pelo que tem quatro divisores, 1 e 183, 3 e 61.

183 pode ser representado de três modos diferentes, como soma de números naturais consecutivos; ou seja, tem três escadas numéricas. Por ser ímpar tem uma escada de 2 degraus, 91+92, por ser múltiplo de 3 tem uma escada de 3 degraus (só acontece aos múltiplos de 3 a partir de 6), 60+61+62, e tem também uma escada de 6 degraus (só acontece aos múltiplos de 3 ímpares), 28+29+30+31+32+33.

Número 20

 20 de junho de 2024

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20 só tem uma escada

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20 é um número tetraédrico

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Esta é a 3.ª publicação sobre o 20. As outras estão AQUI e ALI.

Número 165

 Dia 165 de 2024 - 13 de junho

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165 pode ser representado por três somas (diferentes) de quadrados perfeitos:

         

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165 tem sete escadas numéricas

Número 140

 Dia 140 de 2024  ―  19 de maio

Cento e quarenta na base dez simbolicamente escreve-se 140 que significa 

• 1 centena    4 dezenas    0 unidades  
• 1 × 100        4 × 10           0 × 1
• 1 × 10²         4 × 10¹         0 × 10⁰ 

Enquanto soma de potências de base dois temos 128+8+4 = 2⁷+2³+2²

140 é um número par: pode ser representado pela área de um retângulo de 2 por 70 e também pelo perímetro de paralelogramos de medidas naturais, por exemplo, pelo quadrado de lado 35.

140 tem 12 divisores: 1 e 140, 2 e 70, 4 e 35, 5 e 28, 7 e 20, 10 e 14, ou seja, pode ser representado de seis formas diferentes como produto de dois fatores naturais. Com fatores primos 140 = 2×2×5×7. 

140 é um número piramidal, é a soma dos sete primeiros quadrados perfeitos: 1+4+9+16+25+36+49. Também pode ser escrito como soma de três quadrados perfeitos: 100+36+4.

140 é o perímetro de um triângulo retângulo cujos lados têm medidas inteiras (terno pitagórico 40, 42, 58) 40²+42²=58².

140 pode ser representado de três maneiras diferentes como soma de números naturais consecutivos (escadas numéricas): 

• 5 degraus: 26+27+28+29+30
• 7 degraus: 17+18+19+20+21+22+23
• 8 degraus: 14+15+16+17+18+19+20+21

Número 128

 Dia 128 de 2024 - 7 de maio

128 é a oitava potência de base dois e expoente inteiro (ℤ₀⁺)

Não é um quadrado perfeito, mas é soma de dois quadrados perfeitos: 2×8². A raiz quadrada de 128=11,3137... é um número irracional.

Por ser a oitava potência de base dois, 128 tem 8 divisores, e o numeral que representa 128 na base dois  tem 8 dígitos.

Na representação de 128 em base dois, na imagem acima, os dígitos estão dispostos em grupos apenas por conveniência de contagem do número de dígitos, ou de zeros . O numeral 10 000 000₍dois₎ não pode ler-se "dez milhões"  - leitura exclusiva para numerais escritos no sistema de numeração de base dez -, ou se lê "um, zero, zero,..." ou "um vezes dois elevado a sete". 

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128 não tem escadas!😞 Não há uma única soma de números naturais consecutivos que represente 128!  Porquê!? Que outros números não gozam desta propriedade?

Número 125

Dia 125 de 2024 - 4 de maio

125 tem quatro divisores {1, 125, 5, 25} tal como todos os cubos perfeitos de números primos.

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125 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de medidas naturais, pertencendo assim ao terno pitagórico (44, 117, 125); significa que 44²+117²=125²  

125 é também o quadrado da hipotenusa de dois triângulos retângulos, sendo, portanto, de dois modos diferentes, a soma de dois quadrados perfeitos: 

5² + 10² = 125 = 2² + 11² 

A raiz quadrada de 125 é pouco maior que 11.

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Sendo um múltiplo de 5, tem uma escada de 5 degraus (soma de cinco números naturais consecutivos: 23+24+25+26+27) tal como 15 e todos os múltiplos de 5 superiores. Sendo múltiplo de 5 e não de 10, então tem uma escada de 10 degraus (figura seguinte) ao alcance de uma construção com material CUISENAIRE. 

E por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus 62+63 (ou será ímpar por ser soma de dois naturais consecutivos).

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Representação binária:

1111101_(dois)

1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰  

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1

Número 69

Nove de março de 2024 é o 69.º dia do ano.

O número 69 tem três ESCADAS. 

Por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus. E por ser um múltiplo de 3 tem uma escada de três degraus. Mas também tem uma escada de seis degraus e não é múltiplo de 6. Ele só é múltiplo de 3 e 23 e de 1 e 69. A representação dos números pelas suas ESCADAS não é uma mera curiosidade inocente, as escadas dão visibilidade a propriedades numéricas. Não querendo retirar ao leitor o prazer da descoberta, deixamos aqui só uma entre muitas questões possíveis: todos os números podem ser representados por escadas? Lembramos que uma escada é uma soma de números naturais consecutivos.

Número 6

  

·       pode ser representado por 2 retângulos de área 6 e dimensões inteiras: 1 por 6 e 2 por 3 ·       tem dois pares de fatores/divisores 1×6 2×3 ·       a soma dos seus divisores próprios             é igual a si 1 + 2 + 3 = 6             por isso é chamado número perfeito
Dentro do intervalo dos dias do mês existe outro número perfeito.

Número 21

 Número 21 em ℕ

21 é um número ímpar; é a soma de dois naturais consecutivos: 10+11

     é um número composto; tem mais que um par de fatores/divisores distintos

     é um múltiplo de 3; é o perímetro de um triângulo equilátero com lado 7; 

                                           é a área de um retângulo de 3 por 7

                                            é também múltiplo de 7, de 1 e 21

Tem três escadas: uma com 2 degraus, outra com 3 e ainda uma com 6.

É um termo da sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

É um termo da sequência dos números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21,...

Número 18

Representação decimal:

Representação Binária:

                    na base dois:   10000 + 10   =   10010

                     na base dez:         2⁴    + 2¹

 

Dezoito tem duas escadas, uma delas de 3 degraus.  

Os números maiores que 3 com escadas de 3 degraus têm outra propriedade em comum:  - são múltiplos de 3.

Dezoito é múltiplo de que números?

Número 15

As escadas do 15 são três: com cinco, três e dois degraus como ilustrado na imagem.

15 é ímpar: todos os números, maiores que 1, 

                                   com escadas de 2 degraus, são ímpares;  

            nenhum número par é soma de dois números consecutivos.

 As decomposições do 15 em somas de duas parcelas:

1+14  =  2+13  =  3+12  =  4+11  =  5+10  =  6+9  =  7+8  =  15