Número 144

 Dia 144 de 2024  ―  23 de maio

Na imagem seguinte vê-se que

• 144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;

• há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);

• 144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.

_______________________

Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,

• 1 centena +  4 dezenas +  4 unidades
•  1 × 100    +  4 × 10        +  4 × 1
•  1 × 10²     +  4 × 10¹      +  4 × 10⁰

Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=2⁷+2⁴. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000_(dois) significando,

1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2⁰

 e 144 = 12² pelo que, na base 12 escreve-se 100_(doze) significando

1×12² + 0×12¹ + 0×12⁰    

_________________________

Como produto de números primos 144=2⁴×3² = 2×2×2×2×3×3

_________________________

144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.

Triângulos perímetro = 144	Isósceles	Escalenos
Acutângulos	29*	121
Retângulos	0	2
Obtusângulos	6	274
	*1 equilátero

 ______________________

Uma vez que os retângulos (ou qualquer paralelogramo) têm os lados opostos iguais, o seu perímetro (P) é composto por dois comprimentos (C) e duas larguras (L), isto é, P= 2×(C+L). Se considerarmos retângulos com perímetro de 144 unidades de comprimento, o seu semiperímetro é 72. Encontrando todas as decomposições aditivas diferentes de 72 em duas parcelas (C+L) encontramos também todas as possibilidades de construir retângulos não congruentes de perímetro 144. Como 144 é múltiplo de 4, um desses retângulos será um quadrado. Queres ser tu a descobrir quantos são? Podes responder no comentário a esta publicação.

Número 25

 

 

Aqui está o registo da rotina do Número do Dia 25 de janeiro dos alunos de um 4.º ano. Muito obrigado aos alunos e professora.   A descoberta de regularidades é um meio para a observação e o estabelecimento de regras operatórias.

Número 9

·       é o 5.º número ímpar

número de ordem   1.º    2.º    3.º    4.º    5.º    6.º    ...

número ímpar          1       3       5       7       9      11    ...
  

· é o 3.º número quadrado

 

· é soma dos três primeiros números ímpares

 

· é soma do 2.º com o 3.º número triangular

· tem um número ímpar de fatores/divisores:

D₉ = {1, 3, 9}

não é número primo

9 é divisor de 18, porque é 0 o resto da divisão inteira de 18 por 9, ou, porque

um número é divisível por 9 se a soma dos números representados pelos algarismos for múltiplo de 9   O conjunto de procedimentos adotados neste exemplo ilustra, compreensivamente, este critério de divisibilidade.

                   

Número 4

 4 é um número par

4 é o segundo quadrado perfeito

• é a soma dos dois primeiros números ímpares 4 = 1 + 3

4 tem um número ímpar de divisores

• é múltiplo de 1, de 2 e de 4 

4 é divisor de 4,   8,  12, 16, 20,

                         24, 28, 32, 36, 40,

                         44, 48, 52, 56, 60,

                         64, 68, 72, 76, 80,

                         84, 88, 92, 96

4 é divisor de 100 porque 100 ÷ 4 = 25

4 e 25 são divisores de 100 porque 100 = 4 × 25

4 e 25 são divisores de qualquer múltiplo de 100

124 não é múltiplo de 100, mas é divisível por 4

124 ÷ 4 = 100 ÷ 4 + 24 ÷ 4

124 ÷ 4 = 25 + 6 = 31

• critério de divisibilidade por 4, 
• se a metade de um número natural n é par, então n é divisível por 4 (é múltiplo de 4)
• se os algarismos das dezenas e unidades de um número natural n formam um número múltiplo de 4 (divisível por 4), então n é divisível por 4 (é múltiplo de 4)

Número 25

É um número natural ímpar, é soma de dois números naturais consecutivos 12+13.

É um quadrado perfeito, 5 × 5 = 5² = 25.

Os retângulos 1×25 e 5×5 apresentam os seus divisores formando o seguinte conjunto: 

D25 = {1, 25, 5}

Relações numéricas envolvendo 25

É metade de 50, ou seja, em linguagem matemática, 25 = 50 ÷ 2

É a quarta parte de 100,   25 = 1/4 × 100

É o quadrado de 5,    25 = 5² 

É a raiz quadrada de 625,

Como se pode multiplicar por 25?

Multiplicando por 100 e dividindo por 4 esse produto, como mostra o exemplo: 

2024 × 25 = ( 2024 × 100 ) ÷ 4 = 

                    = 202400 ÷ 4 = 101200 ÷ 2 = 

                    = (100 000 + 1200 ) ÷ 2 = 

                    = 50 000 + 600 = 50 600

Como se pode dividir por 25?

Dividindo por 100 e multiplicando o quociente obtido por 4, como ilustra o exemplo:

2025 ÷ 25 = 2025 ÷ 100 x 4 = 20,25 × 4 = 40,5 × 2 = 81

Os múltiplos de 25 não superiores a 100 e não nulos são: 25, 50, 75 e 100.

De acordo com a propriedade transitiva da relação "múltiplo de", compreende-se que todo o múltiplo de 100 é também múltiplo de 25; pode compreender-se ainda que qualquer número natural superior a 100, se nas posições das dezenas e unidades figurar 00, 25, 50 ou 75, é um múltiplo de 25.

Número 16

Retângulos de área 16 e dimensões inteiras:

Todos os fatores/divisores de 16 são potências de base 2 e expoente natural.

Representação binária: 2⁴