Número 131

 Dia 131 de 2024 ― 10 de maio

131 não pertence a nenhuma daquelas sequências de números que brilham pelas representações geométricas que permitem. A razão para isso acontecer é só uma:

131 é um número primo. Enquanto área de retângulo de dimensões naturais, só do retângulo 1×131. Enquanto soma de naturais consecutivos só tem uma representação (uma escada numérica) 65+66.

No entanto, dentro da família de números primos há uns que são mais famosos do que outros, e 131 pertence, simultaneamente, a várias coleções particulares de primos. Mas deixemos isso, vejamos o que está ao nosso alcance.

Usando os algarismos de 131 para escrever outros números, só conseguimos escrever primos: 113 e 311 também são números primos. Será que há mais primos deste género?

131 pertence à sequência de Ulam. Também há uma espiral de Ulam de que já falámos a propósito do número 72 que calhou a 12 de março.

A sequência de Ulam começa a partir dos dois primeiros termos, 1 e 2; os termos seguintes são os menores que se obtêm pela soma de dois dos termos anteriores, desde que essa soma seja única.

Exemplificando: a seguir a 1 e 2, só há uma possibilidade, 2+1=3. 

O próximo termo pode ser o 4 pois apenas tem uma única maneira de se obter pela soma de dois termos distintos: 3+1. Portanto, sabe-se já os quatro primeiros termos: 1, 2, 3, 4. 

Será que o 5 pode ser o próximo? Não, porque se obtém por mais do que uma soma, nomeadamente, 4+1 e 3+2.

Será o 6? Sim, obtém-se por uma única soma: 4+2. O 7 também, mas não se considera um número maior se há outro menor que respeita a condição. Assim, os cinco primeiros termos são 1, 2, 3, 4, 6.

Será 7 o próximo? Não.: 7=6+1=4+3. Será 8? Sim, só há uma forma de obter 8=6+2.

Primeiros seis termos da sequência de Ulam: 1, 2, 3, 4, 6, 8,... ?

Está entendida a regra? Será que isto terá sempre um novo número possível, ou acontecerá, a certa altura, haver sempre mais do que uma maneira de obter o número seguinte e, consequentemente, não ser possível continuar?

Parece um bom contexto, puramente matemático, desafiante para quem gosta de sequências, desenvolver a destreza em cálculo mental.