περίμετρος

περίμετρος - perímetro 

Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 

As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

• a soma de dois quadrados de 6. 
• a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 2⁶ + 2³ sendo 1001000 a representação na base dois.
• com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e C de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

• são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
• as de 24 são o dobro de 24
• as de 36 são o triplo de 36
• ...
• as de 72 são o sêxtuplo de 72

e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

Número 69

Nove de março de 2024 é o 69.º dia do ano.

O número 69 tem três ESCADAS. 

Por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus. E por ser um múltiplo de 3 tem uma escada de três degraus. Mas também tem uma escada de seis degraus e não é múltiplo de 6. Ele só é múltiplo de 3 e 23 e de 1 e 69. A representação dos números pelas suas ESCADAS não é uma mera curiosidade inocente, as escadas dão visibilidade a propriedades numéricas. Não querendo retirar ao leitor o prazer da descoberta, deixamos aqui só uma entre muitas questões possíveis: todos os números podem ser representados por escadas? Lembramos que uma escada é uma soma de números naturais consecutivos.

Tetraminós e Tetracubos

Muito obrigado à professora e seus alun@s do 4.º ano pela partilha da identificação dos cinco TETRAMINÓS, ou seja, cinco figuras planas, não congruentes, obtidas pela justaposição, lado a lado, de 4 quadrados iguais. Têm a certeza de que não há mais nenhum? Como?   O desafio que vos propomos agora é que encontrem todos os sólidos, não congruentes, que é possível construir com 4 cubos iguais justapostos face a face. Podemos chamar-lhes TETRACUBOS.  Um deles é:

Número 29

 29 de fevereiro não é todos os anos. Convidámos primos para a festa.

Não são lá muito bons em dança sincronizada, há sempre primos desalinhados. 

O bolo tinha dois Quadrados perfeitos.

5² + 2² = 29

mais sobre o 29

Número 23 e 27

 

Obrigado pela partilha, professora e alun@s do 2.º ano.

Clique aqui para ver mais publicações destes amig@s.

Número 21

 A invariância quociente:

Muito obrigado pela partilha, professora e alun@s do 4.º ano.

Número 20

 O dia 20 na sala do 3.º ano.

Muito obrigado pela partilha.

Número 15

 Hoje é dia 15 de fevereiro.

Mais uma partilha que agradecemos à professora e aos estudantes.

Número 1

Hoje partilhamos o registo do que resultou da atividade Número do Dia de alunos de 4.º ano.

Muito obrigado aos alunos e professora pela partilha.

 Pode ver outra publicação nossa  sobre o número 1 aqui.

Números 16 e 30 em aula

É muito enriquecedora a partilha do trabalho desenvolvido em aula 

- Número do Dia de alunos no 2.º ano nos dias 16 e 30 de janeiro. 

Muito obrigado aos alunos e professora por estes registos. 

Número 25

 

 

Aqui está o registo da rotina do Número do Dia 25 de janeiro dos alunos de um 4.º ano. Muito obrigado aos alunos e professora.   A descoberta de regularidades é um meio para a observação e o estabelecimento de regras operatórias.

Tarefa do Dia - Desafio

 A Inês é uma bebé prematura e tem 32 dias.

Quantas semanas inteiras tem?

De quatro em quatro dias tem de ser pesada. Quantas pesagens já foram feitas?

Pretende-se com esta tarefa, relacionar a sua resolução com a identidade fundamental da divisão inteira. De acordo com esta identidade, 32 = 4 x 7 + 4. O resto da divisão inteira de 32 por 7 é 4; contudo não se pode fazer afirmação idêntica para o divisor 4, porque a parcela de valor 4 não é inferior a 4.

 

Número 16

 Com um agradecimento especial à professora que teve a amabilidade de partilhar connosco

o número do dia 16 de janeiro pela voz dos seus estudantes no 1.º ano de escolaridade.

Tarefa do dia - Descobrir regularidades

Considere dois quaisquer números inteiros positivos consecutivos n e n+1. O que pode ser afirmado sobre:

• a sua soma?
• o seu produto?

Pretende-se com estas questões desenvolver a capacidade de identificar regularidades, promover o estabelecimento de conjeturas e efetuar generalizações utilizando variável.

Tarefa do dia

Qual é o menor número que é o produto de 11 por um número de 2 algarismos?

Qual é o maior número que é o produto por 11 por um número:

• de 3 algarismos? 
• de 4 algarismos?
• de 5 algarismos?

...

Número 11

É número ímpar e número primo.

Existe um infinidade de retângulos cuja área mede 11 unidades de área (u.a.) mas com dimensões (comprimento e largura) inteiras só existe um, de 1 por 11.

Também existe uma infinidade de retângulos cujo perímetro mede 11 unidades de comprimento (u.c.), mas não é possível construir um com medidas inteiras.

Assim como é possível construir uma infinidade de triângulos cujo perímetro é 11 u.c. No entanto, com medidas inteiras só conseguimos construir os que se veem na imagem. O palito é a u.c.

Número 10

 ·  é o 5.º número natural par (quinto porque 0, embora seja um número par, não o consideramos número natural)

              números de ordem:  1.º  2.º  3.º  4.º   5.º   6.º ...

     números naturais pares:  2     4     6     8     10   12  ...

• qualquer número par é o dobro de um número inteiro
• é um múltiplo de 2 
• pode ser representado por um retângulo de duas filas de quadrados congruentes

· tem um número par de fatores/divisores

D10 = {1, 2, 5, 10} é múltiplo de  1 e 10  2 e 5

 

Decomposição aditiva em duas parcelas  saber essencial para o domínio de processos de cálculo mental

Número 9

·       é o 5.º número ímpar

número de ordem   1.º    2.º    3.º    4.º    5.º    6.º    ...

número ímpar          1       3       5       7       9      11    ...
  

· é o 3.º número quadrado

 

· é soma dos três primeiros números ímpares

 

· é soma do 2.º com o 3.º número triangular

· tem um número ímpar de fatores/divisores:

D₉ = {1, 3, 9}

não é número primo

9 é divisor de 18, porque é 0 o resto da divisão inteira de 18 por 9, ou, porque

um número é divisível por 9 se a soma dos números representados pelos algarismos for múltiplo de 9   O conjunto de procedimentos adotados neste exemplo ilustra, compreensivamente, este critério de divisibilidade.

                   

Tarefa do dia

Mostrar que os retângulos Amarelo, Encarnado, Verde e Branco são equivalentes.

Explicitar a unidade de área utilizada.

Clic na imagem para aceder ao geoplano.

Número 8

 é o 4.º número natural par

é o 2.º número cúbico

é o 6.º número da sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,... (é a medida de um raio na espiral de Fibonacci)

Número 7

 7 é um número ímpar

1+1+5 1+2+4 1+3+3 2+2+3

para obter um número ímpar, numa soma de três parcelas, ou são todas ímpares, ou só uma pode ser ímpar.

• Considerando apenas medidas inteiras na construção de triângulos isoperimétricos, 
• com perímetro par é impossível obter triângulos isósceles com lado 1
• com perímetro ímpar, os triângulos isósceles 
• ou têm os três lados com medida ímpar, ou apenas um

Número 6

  

·       pode ser representado por 2 retângulos de área 6 e dimensões inteiras: 1 por 6 e 2 por 3 ·       tem dois pares de fatores/divisores 1×6 2×3 ·       a soma dos seus divisores próprios             é igual a si 1 + 2 + 3 = 6             por isso é chamado número perfeito
Dentro do intervalo dos dias do mês existe outro número perfeito.

Número 5

  

é um número primo, portanto é ímpar  (2 é o único número par e primo) tem uma única escada, 2+3

                        5 é metade de 10 e

                              1/5 de 25

 

No contexto de medidas com números inteiros, 5 pode ser o perímetro de um triângulo de lados 1, 2, 2.

Número 4

 4 é um número par

4 é o segundo quadrado perfeito

• é a soma dos dois primeiros números ímpares 4 = 1 + 3

4 tem um número ímpar de divisores

• é múltiplo de 1, de 2 e de 4 

4 é divisor de 4,   8,  12, 16, 20,

                         24, 28, 32, 36, 40,

                         44, 48, 52, 56, 60,

                         64, 68, 72, 76, 80,

                         84, 88, 92, 96

4 é divisor de 100 porque 100 ÷ 4 = 25

4 e 25 são divisores de 100 porque 100 = 4 × 25

4 e 25 são divisores de qualquer múltiplo de 100

124 não é múltiplo de 100, mas é divisível por 4

124 ÷ 4 = 100 ÷ 4 + 24 ÷ 4

124 ÷ 4 = 25 + 6 = 31

• critério de divisibilidade por 4, 
• se a metade de um número natural n é par, então n é divisível por 4 (é múltiplo de 4)
• se os algarismos das dezenas e unidades de um número natural n formam um número múltiplo de 4 (divisível por 4), então n é divisível por 4 (é múltiplo de 4)

Número 3

 3 é um número ímpar:

• é a soma de dois números inteiros consecutivos 1+2
• não é possível construir um retângulo com 3 quadrados congruentes dispostos em duas filas 
• 2 não é um fator/divisor de 3 (não há número inteiro que multiplicado por 2 dê 3)
• não é possível construir um retângulo de perímetro 3 e dimensões inteiras

3 é um número primo: 

• enquanto medida de área retangular, apenas admite, em N, um único retângulo (1 por 3)
• tem um único par de fatores distintos, 1 e 3 (é múltiplo de 3 e de 1)
• tem uma única escada de dois degraus, 1+2

3 é o número inverso de 1/3  

Quando a unidade é a área: do quadrado cinzento, a medida da área do retângulo verde-claro é 3 do retângulo verde-claro, a medida da área do quadrado cinzento é 1/3

 

Número 2

 É o primeiro número natural par (embora 0 seja número par, não o consideramos na sequência dos números naturais).

 

É um número primo – pois tem apenas um par de fatores/divisores distintos {1, 2}  – e o único que é par.

 

É a raiz quadrada de 4. Como 2 não é quadrado perfeito a sua raiz quadrada é um número irracional.

Espiral de Teodoro

 É metade de 4