210 e 28 são ambos números triangulares: 210 é a soma dos vinte primeiros números naturais, e 28 é a soma dos sete primeiros. Mas 210 tem a particularidade de ser também o produto de dois números naturais consecutivos.
Duzentos é o vigésimo primeiro termo de uma sequência representada abaixo. Qual será o próximo? Consegues identificar a lei de formação?
190 é um número par porque é múltiplo de 2, sendo possível dispor 190 quadrados iguais de modo a formar um retângulo de dimensões 2 e 95, ou seja, 190 = 2 × 95. De modo semelhante, é múltiplo de 10 e 19, de 5 e 38 e de 1 e 190.
190 é décimo nono número triangular pois é a soma dos 19 primeiros números naturais: uma escada de 19 degraus, começando no 1; além dessa escada tem mais duas, uma de 4 degraus que começa em 46 e outra de 5 degraus que começa em 36 (lindo! tirando 10 a cada um dos degraus da escada de 4 degraus, consegue-se obter 4×10, que é o número necessário para formar o quinto degrau da escada de 5 degraus).
O dia 1 de julho de 2024 é o último da primeira metade do ano. Completam-se 183 dias desde 1 de janeiro, metade dos 366 dias de 2024. O próximo ano não é bissexto, terá 365 dias, e metade corresponde a 182 dias e meio, sendo assim o fim da primeira metade do ano (e o início da segunda) acontecerá às 12 horas de dia 2 de julho de 2025.
183 é produto de dois números primos, 3 × 61, pelo que tem quatro divisores, 1 e 183, 3 e 61.
183 pode ser representado de três modos diferentes, como soma de números naturais consecutivos; ou seja, tem três escadas numéricas. Por ser ímpar tem uma escada de 2 degraus, 91+92, por ser múltiplo de 3 tem uma escada de 3 degraus (só acontece aos múltiplos de 3 a partir de 6), 60+61+62, e tem também uma escada de 6 degraus (só acontece aos múltiplos de 3 ímpares), 28+29+30+31+32+33.
No dia 181 de 2024, 29 de junho, hoje, completam-se 62 anos de vida para muita gente boa. Parabéns a todos, mas em particular para aqueles que virem esta mensagem e se acusarem aí nos comentários.
Sessenta e dois não é um número espetacular. E o 181 do ano, assim como o 29 do mês são meros primos.
Depois do 60, que é um número "altamente composto", isto é, antes dele não há nenhum que tenha tantos (12) divisores como ele, vem o 61 que só tem dois divisores (outro primo), seguido então do 62 que tem 4 divisores.
Vejam lá se descobrem que família de números é essa.
Quem descobrir, por favor, não escreva nos comentários para que outros também tenham a possibilidade de pensar no assunto. A matemática só assim é que tem piada. Quem descobrir pode enviar uma mensagem através desse formulário aí do lado direito.
Obrigado.
176 só tem uma representação como soma de números naturais consecutivos: uma escada de 11 degraus
176 é o perímetro de um triângulo retângulo cujas medidas dos lados são números naturais e constituem um terno pitagórico primitivo (48, 55, 73).
Na imagem seguinte vê-se que
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Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,
Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=27+24. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000(dois) significando,
1×27 + 0×26 + 0×25 + 1×24 + 0×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20
e 144 = 122 pelo que, na base 12 escreve-se 100(doze) significando
1×122 + 0×121 + 0×120
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Como produto de números primos 144=24×32 = 2×2×2×2×3×3
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144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.
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Triângulos perímetro = 144 |
Isósceles |
Escalenos |
|
Acutângulos |
29* |
121 |
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Retângulos |
0 |
2 |
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Obtusângulos |
6 |
274 |
|
|
*1 equilátero |
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Cento e quarenta na base dez simbolicamente escreve-se 140 que significa
- 1 centena 4 dezenas 0 unidades
- 1 × 100 4 × 10 0 × 1
- 1 × 10² 4 × 10¹ 0 × 10⁰
Enquanto soma de potências de base dois temos 128+8+4 = 2⁷+2³+2²
140 é um número par: pode ser representado pela área de um retângulo de 2 por 70 e também pelo perímetro de paralelogramos de medidas naturais, por exemplo, pelo quadrado de lado 35.
140 tem 12 divisores: 1 e 140, 2 e 70, 4 e 35, 5 e 28, 7 e 20, 10 e 14, ou seja, pode ser representado de seis formas diferentes como produto de dois fatores naturais. Com fatores primos 140 = 2×2×5×7.
140 é um número piramidal, é a soma dos sete primeiros quadrados perfeitos: 1+4+9+16+25+36+49. Também pode ser escrito como soma de três quadrados perfeitos: 100+36+4.
140 é o perímetro de um triângulo retângulo cujos lados têm medidas inteiras (terno pitagórico 40, 42, 58) 40²+42²=58².
140 pode ser representado de três maneiras diferentes como soma de números naturais consecutivos (escadas numéricas):
131 não pertence a nenhuma daquelas sequências de números que brilham pelas representações geométricas que permitem. A razão para isso acontecer é só uma:
131 é um número primo. Enquanto área de retângulo de dimensões naturais, só do retângulo 1×131. Enquanto soma de naturais consecutivos só tem uma representação (uma escada numérica) 65+66.
No entanto, dentro da família de números primos há uns que são mais famosos do que outros, e 131 pertence, simultaneamente, a várias coleções particulares de primos. Mas deixemos isso, vejamos o que está ao nosso alcance.
Usando os algarismos de 131 para escrever outros números, só conseguimos escrever primos: 113 e 311 também são números primos. Será que há mais primos deste género?
131 pertence à sequência de Ulam. Também há uma espiral de Ulam de que já falámos a propósito do número 72 que calhou a 12 de março.
A sequência de Ulam começa a partir dos dois primeiros termos, 1 e 2; os termos seguintes são os menores que se obtêm pela soma de dois dos termos anteriores, desde que essa soma seja única.
Exemplificando: a seguir a 1 e 2, só há uma possibilidade, 2+1=3.
O próximo termo pode ser o 4 pois apenas tem uma única maneira de se obter pela soma de dois termos distintos: 3+1. Portanto, sabe-se já os quatro primeiros termos: 1, 2, 3, 4.
Será que o 5 pode ser o próximo? Não, porque se obtém por mais do que uma soma, nomeadamente, 4+1 e 3+2.
Será o 6? Sim, obtém-se por uma única soma: 4+2. O 7 também, mas não se considera um número maior se há outro menor que respeita a condição. Assim, os cinco primeiros termos são 1, 2, 3, 4, 6.
Será 7 o próximo? Não.: 7=6+1=4+3. Será 8? Sim, só há uma forma de obter 8=6+2.
Primeiros seis termos da sequência de Ulam: 1, 2, 3, 4, 6, 8,... ?
Está entendida a regra? Será que isto terá sempre um novo número possível, ou acontecerá, a certa altura, haver sempre mais do que uma maneira de obter o número seguinte e, consequentemente, não ser possível continuar?
Parece um bom contexto, puramente matemático, desafiante para quem gosta de sequências, desenvolver a destreza em cálculo mental.
128 é a oitava potência de base dois e expoente inteiro (ℤ₀⁺)
Não é um quadrado perfeito, mas é soma de dois quadrados perfeitos: 2×8². A raiz quadrada de 128=11,3137... é um número irracional.
Por ser a oitava potência de base dois, 128 tem 8 divisores, e o numeral que representa 128 na base dois tem 8 dígitos.
Na representação de 128 em base dois, na imagem acima, os dígitos estão dispostos em grupos apenas por conveniência de contagem do número de dígitos, ou de zeros . O numeral 10 000 000₍dois₎ não pode ler-se "dez milhões" - leitura exclusiva para numerais escritos no sistema de numeração de base dez -, ou se lê "um, zero, zero,..." ou "um vezes dois elevado a sete".
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128 não tem escadas!😞 Não há uma única soma de números naturais consecutivos que represente 128! Porquê!? Que outros números não gozam desta propriedade?
125 tem quatro divisores {1, 125, 5, 25} tal como todos os cubos perfeitos de números primos.
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125 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de medidas naturais, pertencendo assim ao terno pitagórico (44, 117, 125); significa que 44²+117²=125²
125 é também o quadrado da hipotenusa de dois triângulos retângulos, sendo, portanto, de dois modos diferentes, a soma de dois quadrados perfeitos:
5² + 10² = 125 = 2² + 11²
A raiz quadrada de 125 é pouco maior que 11.
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Sendo um múltiplo de 5, tem uma escada de 5 degraus (soma de cinco números naturais consecutivos: 23+24+25+26+27) tal como 15 e todos os múltiplos de 5 superiores. Sendo múltiplo de 5 e não de 10, então tem uma escada de 10 degraus (figura seguinte) ao alcance de uma construção com material CUISENAIRE.
E por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus 62+63 (ou será ímpar por ser soma de dois naturais consecutivos).
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Representação binária:
1111101(dois)
1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
É o menor número com 16 divisores. A soma dos seus divisores é um número interessante, 360; se não contarmos com 120 a soma será 240, outro número interessante, pelo menos no que se refere à quantidade de divisores.
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120 não é um quadrado perfeito mas está perto. E é uma soma de três quadrados.
11² − 1 10²+4²+2²
É um número triangular (que facilmente se constrói com barras cuisenaire) pela soma dos quinze primeiros números naturais. É também um número tetraédrico, que se constrói como uma soma dos oito primeiros números triangulares.
120 pode ser escrito de 1200 maneiras diferentes como uma soma de 3 parcelas de números naturais. Por exemplo, 40+40+40 ou 30+40+50. A pergunta interessante é, quantas destas somas permitem, em virtude da desigualdade triangular, construir triângulos. As duas que referimos antes formam, respetivamente, um triângulo equilátero e um triângulo retângulo. Vejamos quantos mais triângulos de perímetro 120 podem ser construídos:
Hoje completam-se 50 anos após a Revolução dos Cravos. São 18263 dias vividos em democracia. 18263 dias perfazem exatamente 2609 semanas, pelo que estamos hoje numa 5.ª feira, tal como há 50 anos atrás.
50 é soma de quadrados perfeitos, 7² + 1² = 49 + 1 e de 5² + 5² = 25 + 25
Com isso podemos construir dois triângulos retângulos 'quase' interessantes:
A 4.ª pirâmide é formada pela soma dos quatro primeiros quadrados perfeitos, a 3.ª pirâmide é a soma dos três primeiros quadrados perfeitos, a 2.ª é a soma dos dois primeiros quadrados perfeitos e a 1.ª é o primeiro quadrado perfeito.
_____________________________________50 é metade de 10², tal como 5 é metade de 10¹, 500 é metade de 10³, . . . é bom saber, porque multiplicar um número N por 50 é o mesmo que pensar na metade de N × 100, ou seja,
N × 50 = N × 100 ÷ 2, assim como N × 5 = N × 10 ÷ 2, ou N × 500 = N × 1000 ÷ 2, e todos sabemos como é fácil pensar no produto de um número por 10, 100, 1000,... assim como é fácil pensar na metade de qualquer número, não? Também dividir N por 50 é o mesmo que pensar no dobro do quociente de N por 100. Contas fáceis.
O que não é tão fácil é multiplicar a democracia.
Hoje é o dia 9 do mês de abril e é o dia 100 do ano 2024.
É possível construir cinco retângulos diferentes com 100 quadrados congruentes:
Os divisores de 100 são 1 e 100, 2 e 50, 4 e 25, 5 e 20, e 10.
A decomposição em fatores primos é 2²×5² que é igual ao produto de dois dos seus fatores 4×25.
100 é um quadrado perfeito; é a soma dos quatro primeiros números cúbicos:
100 é a soma do quadrado de 8 com o quadrado de 6. Significa que há um triângulo retângulo com as medidas 6, 8 e 10 para os seus lados, sendo 10 a medida da hipotenusa.
No sistema de numeração de base oito, usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, cem escreve-se 144 (lê-se um, quatro, quatro na base oito). Ou seja 100 = 1 × 8² + 4 × 8¹ + 4 × 8⁰
Triângulos isoperimétricos
Há 833 decomposições de 100 em somas de três parcelas. Quantos triângulos de perímetro 100, com medidas inteiras, existem? Não há nenhum que seja equilátero porque 100 não é divisível por 3; mas o triângulo 33+33+34 fica muito perto disso.
Retângulos isoperimétricos
Com perímetro 100 e medidas inteiras é possível desenhar 25 retângulos, um deles é um quadrado de lado 25.
Hoje, a regra para o número do dia é:"figuras
que tenham 14 de área ou de perímetro" É infinito o número de figuras planas com área ou perímetro 14 (unidades de área e unidades de comprimento, respetivamente), mesmo que nos limitemos a medidas inteiras. Mas se considerarmos apenas retângulos, com medidas inteiras, então encontramos poucos. Se pudermos usar medidas racionais (inteiras e fracionárias), então já teremos uma quantidade infinita de retângulos com 14 unidades de área, ou com perímetro de 14 unidades de comprimento. Muito obrigado aos autores residentes, alun@s e professora, por esta partilha. |
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As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3.
Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é
Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:
Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.
O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.
72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.
Nove de março de 2024 é o 69.º dia do ano.
O número 69 tem três ESCADAS.
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Muito obrigado à
professora e seus alun@s do 4.º ano pela partilha da identificação dos cinco TETRAMINÓS,
ou seja, cinco figuras planas, não congruentes, obtidas pela justaposição, lado a
lado, de 4 quadrados iguais. Têm a certeza de que não
há mais nenhum? Como? O desafio que vos propomos
agora é que encontrem todos os sólidos, não congruentes, que é possível
construir com 4 cubos iguais justapostos face a face. Podemos chamar-lhes TETRACUBOS.
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29 de fevereiro não é todos os anos. Convidámos primos para a festa.
Não são lá muito bons em dança sincronizada, há sempre primos desalinhados.
52 + 22 = 29
Hoje é dia 15 de fevereiro.
