Número 144

 Dia 144 de 2024  ―  23 de maio

Na imagem seguinte vê-se que

• 144 pode ser representado pela área de oito retângulos de dimensões naturais (inteiros positivos), um dos quais é quadrado ―144 é um quadrado perfeito ―, pelo que tem quinze divisores ou, também, 144 é múltiplo de quinze fatores;

• há dois triângulos retângulos com 144 de perímetro, cujo comprimento dos lados são números naturais; portanto estamos na presença de dois ternos pitagóricos; (36, 48, 60) e (16, 63, 65);

• 144 é o 12º termo da sequência de Fibonacci.

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Cento e quarenta e quatro escreve-se simbolicamente 144 no sistema de numeração decimal (de base 10) significando,

• 1 centena +  4 dezenas +  4 unidades
•  1 × 100    +  4 × 10        +  4 × 1
•  1 × 10²     +  4 × 10¹      +  4 × 10⁰

Enquanto soma de potências de base dois e expoente inteiro 144=128+16=2⁷+2⁴. Portanto, no sistema de numeração de base 2 escreve-se 10010000_(dois) significando,

1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2⁰

 e 144 = 12² pelo que, na base 12 escreve-se 100_(doze) significando

1×12² + 0×12¹ + 0×12⁰    

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Como produto de números primos 144=2⁴×3² = 2×2×2×2×3×3

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144 pode ser decomposto diferentemente em 1728 somas de três parcelas, que corresponde a 12×144. Destas, apenas 432 (um quarto de 1728 e o triplo de 144) permitem construir triângulos (em virtude da desigualdade triangular); entre estes triângulos há dois que são retângulos (mostrados na imagem), 150 acutângulos, 280 obtusângulos. Isósceles são 35, entre os quais está um equilátero.

Triângulos perímetro = 144	Isósceles	Escalenos
Acutângulos	29*	121
Retângulos	0	2
Obtusângulos	6	274
	*1 equilátero

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Uma vez que os retângulos (ou qualquer paralelogramo) têm os lados opostos iguais, o seu perímetro (P) é composto por dois comprimentos (C) e duas larguras (L), isto é, P= 2×(C+L). Se considerarmos retângulos com perímetro de 144 unidades de comprimento, o seu semiperímetro é 72. Encontrando todas as decomposições aditivas diferentes de 72 em duas parcelas (C+L) encontramos também todas as possibilidades de construir retângulos não congruentes de perímetro 144. Como 144 é múltiplo de 4, um desses retângulos será um quadrado. Queres ser tu a descobrir quantos são? Podes responder no comentário a esta publicação.

Número 140

 Dia 140 de 2024  ―  19 de maio

Cento e quarenta na base dez simbolicamente escreve-se 140 que significa 

• 1 centena    4 dezenas    0 unidades  
• 1 × 100        4 × 10           0 × 1
• 1 × 10²         4 × 10¹         0 × 10⁰ 

Enquanto soma de potências de base dois temos 128+8+4 = 2⁷+2³+2²

140 é um número par: pode ser representado pela área de um retângulo de 2 por 70 e também pelo perímetro de paralelogramos de medidas naturais, por exemplo, pelo quadrado de lado 35.

140 tem 12 divisores: 1 e 140, 2 e 70, 4 e 35, 5 e 28, 7 e 20, 10 e 14, ou seja, pode ser representado de seis formas diferentes como produto de dois fatores naturais. Com fatores primos 140 = 2×2×5×7. 

140 é um número piramidal, é a soma dos sete primeiros quadrados perfeitos: 1+4+9+16+25+36+49. Também pode ser escrito como soma de três quadrados perfeitos: 100+36+4.

140 é o perímetro de um triângulo retângulo cujos lados têm medidas inteiras (terno pitagórico 40, 42, 58) 40²+42²=58².

140 pode ser representado de três maneiras diferentes como soma de números naturais consecutivos (escadas numéricas): 

• 5 degraus: 26+27+28+29+30
• 7 degraus: 17+18+19+20+21+22+23
• 8 degraus: 14+15+16+17+18+19+20+21

Número 131

 Dia 131 de 2024 ― 10 de maio

131 não pertence a nenhuma daquelas sequências de números que brilham pelas representações geométricas que permitem. A razão para isso acontecer é só uma:

131 é um número primo. Enquanto área de retângulo de dimensões naturais, só do retângulo 1×131. Enquanto soma de naturais consecutivos só tem uma representação (uma escada numérica) 65+66.

No entanto, dentro da família de números primos há uns que são mais famosos do que outros, e 131 pertence, simultaneamente, a várias coleções particulares de primos. Mas deixemos isso, vejamos o que está ao nosso alcance.

Usando os algarismos de 131 para escrever outros números, só conseguimos escrever primos: 113 e 311 também são números primos. Será que há mais primos deste género?

131 pertence à sequência de Ulam. Também há uma espiral de Ulam de que já falámos a propósito do número 72 que calhou a 12 de março.

A sequência de Ulam começa a partir dos dois primeiros termos, 1 e 2; os termos seguintes são os menores que se obtêm pela soma de dois dos termos anteriores, desde que essa soma seja única.

Exemplificando: a seguir a 1 e 2, só há uma possibilidade, 2+1=3. 

O próximo termo pode ser o 4 pois apenas tem uma única maneira de se obter pela soma de dois termos distintos: 3+1. Portanto, sabe-se já os quatro primeiros termos: 1, 2, 3, 4. 

Será que o 5 pode ser o próximo? Não, porque se obtém por mais do que uma soma, nomeadamente, 4+1 e 3+2.

Será o 6? Sim, obtém-se por uma única soma: 4+2. O 7 também, mas não se considera um número maior se há outro menor que respeita a condição. Assim, os cinco primeiros termos são 1, 2, 3, 4, 6.

Será 7 o próximo? Não.: 7=6+1=4+3. Será 8? Sim, só há uma forma de obter 8=6+2.

Primeiros seis termos da sequência de Ulam: 1, 2, 3, 4, 6, 8,... ?

Está entendida a regra? Será que isto terá sempre um novo número possível, ou acontecerá, a certa altura, haver sempre mais do que uma maneira de obter o número seguinte e, consequentemente, não ser possível continuar?

Parece um bom contexto, puramente matemático, desafiante para quem gosta de sequências, desenvolver a destreza em cálculo mental.

Número 128

 Dia 128 de 2024 - 7 de maio

128 é a oitava potência de base dois e expoente inteiro (ℤ₀⁺)

Não é um quadrado perfeito, mas é soma de dois quadrados perfeitos: 2×8². A raiz quadrada de 128=11,3137... é um número irracional.

Por ser a oitava potência de base dois, 128 tem 8 divisores, e o numeral que representa 128 na base dois  tem 8 dígitos.

Na representação de 128 em base dois, na imagem acima, os dígitos estão dispostos em grupos apenas por conveniência de contagem do número de dígitos, ou de zeros . O numeral 10 000 000₍dois₎ não pode ler-se "dez milhões"  - leitura exclusiva para numerais escritos no sistema de numeração de base dez -, ou se lê "um, zero, zero,..." ou "um vezes dois elevado a sete". 

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128 não tem escadas!😞 Não há uma única soma de números naturais consecutivos que represente 128!  Porquê!? Que outros números não gozam desta propriedade?

Número 125

Dia 125 de 2024 - 4 de maio

125 tem quatro divisores {1, 125, 5, 25} tal como todos os cubos perfeitos de números primos.

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125 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de medidas naturais, pertencendo assim ao terno pitagórico (44, 117, 125); significa que 44²+117²=125²  

125 é também o quadrado da hipotenusa de dois triângulos retângulos, sendo, portanto, de dois modos diferentes, a soma de dois quadrados perfeitos: 

5² + 10² = 125 = 2² + 11² 

A raiz quadrada de 125 é pouco maior que 11.

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Sendo um múltiplo de 5, tem uma escada de 5 degraus (soma de cinco números naturais consecutivos: 23+24+25+26+27) tal como 15 e todos os múltiplos de 5 superiores. Sendo múltiplo de 5 e não de 10, então tem uma escada de 10 degraus (figura seguinte) ao alcance de uma construção com material CUISENAIRE. 

E por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus 62+63 (ou será ímpar por ser soma de dois naturais consecutivos).

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Representação binária:

1111101_(dois)

1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰  

64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1

Número 120

 Hoje, 29 de abril, é o 120.º dia do ano 2024. O número 120 é rico em predicados.

É o menor número com 16 divisores. A soma dos seus divisores é um número interessante, 360; se não contarmos com 120 a soma será 240, outro número interessante, pelo menos no que se refere à quantidade de divisores. 

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120 não é um quadrado perfeito mas está perto. E é uma soma de três quadrados.

11² − 1                                                 10²+4²+2² 

 

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É um número triangular (que facilmente se constrói com barras cuisenaire) pela soma dos quinze primeiros números naturais. É também um número tetraédrico, que se constrói como uma soma dos oito primeiros números triangulares.

   

 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15                 1+3+6+10+15+21+28+36

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120 pode ser escrito de 1200 maneiras diferentes como uma soma de 3 parcelas de números naturais. Por exemplo, 40+40+40 ou 30+40+50. A pergunta interessante é, quantas destas somas permitem, em virtude da desigualdade triangular, construir triângulos. As duas que referimos antes formam, respetivamente, um triângulo equilátero e um triângulo retângulo. Vejamos quantos mais triângulos de perímetro 120 podem ser construídos:

Há 3 triângulos retângulos, portanto, três ternos pitagóricos: (20, 48, 52), (24, 45, 51) e (30, 40, 50). Todos são "múltiplos" de ternos primitivos, respetivamente (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (3, 4, 5).

Número 50

 Hoje completam-se 50 anos após a Revolução dos Cravos. São 18263 dias vividos em democracia. 18263 dias perfazem exatamente 2609 semanas, pelo que estamos hoje numa 5.ª feira, tal como há 50 anos atrás.

50 é soma de quadrados perfeitos, 7² + 1² = 49 + 1 e de 5² + 5² = 25 + 25

Com isso podemos construir dois triângulos retângulos 'quase' interessantes: 

• o triângulo retângulo escaleno cujas medidas dos lados são 1, 7 e √50, 

• o triangulo retângulo isósceles com lados de medida 5, 5 e √50. 

√50 ≅ 7,071067... pouco mais que 7😉. Seria mais interessante se 50 também fosse um quadrado perfeito.

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50 não é um número triangular, mas fica 'en/cravado' entre dois números triangulares, o 45 e o 55:

Conseguimos que 50 seja a soma de números triangulares, por exemplo, 10+10+15+15.

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50 também é a soma dos quatro primeiros termos da sequência destas pirâmides:

A 4.ª pirâmide é formada pela soma dos quatro primeiros quadrados perfeitos, a 3.ª pirâmide é a soma dos três primeiros quadrados perfeitos, a 2.ª é a soma dos dois primeiros quadrados perfeitos e a 1.ª é o primeiro quadrado perfeito. 

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50 é metade de 10², tal como 5 é metade de 10¹, 500 é metade de 10³, . . . é bom saber, porque multiplicar um número N por 50 é o mesmo que pensar na metade de N × 100, ou seja,

N × 50 = N × 100 ÷ 2, assim como N × 5 = N × 10 ÷ 2, ou N × 500 = N × 1000 ÷ 2, e todos sabemos como é fácil pensar no produto de um número por 10, 100, 1000,... assim como é fácil pensar na metade de qualquer número, não? Também dividir N por 50 é o mesmo que pensar no dobro do quociente de N por 100. Contas fáceis.

O que não é tão fácil é multiplicar a democracia. 

Número 100

 Hoje é o dia 9 do mês de abril e é o dia 100 do ano 2024.

É possível construir cinco retângulos diferentes com 100 quadrados congruentes: 

Os divisores de 100 são 1 e 100, 2 e 50, 4 e 25, 5 e 20, e 10. 

A decomposição em fatores primos é 2²×5² que é igual ao produto de dois dos seus fatores 4×25. 

100 é um quadrado perfeito; é a soma dos quatro primeiros números cúbicos:

100 é o quadrado do 4.º número triangular, o qual é a soma dos quatro primeiros números naturais.

100 é a soma do quadrado de 8 com o quadrado de 6. Significa que há um triângulo retângulo com as medidas 6, 8 e 10 para os seus lados, sendo 10 a medida da hipotenusa.

No sistema de numeração de base oito, usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, cem escreve-se 144 (lê-se um, quatro, quatro na base oito). Ou seja  100 = 1 × 8² + 4 × 8¹ + 4 × 8⁰

Triângulos isoperimétricos

Há 833 decomposições de 100 em somas de três parcelas. Quantos triângulos de perímetro 100, com medidas inteiras, existem? Não há nenhum que seja equilátero porque 100 não é divisível por 3; mas o triângulo 33+33+34 fica muito perto disso.

Retângulos isoperimétricos

Com perímetro 100 e medidas inteiras é possível desenhar 25 retângulos, um deles é um quadrado de lado 25.

Número 14

  

Hoje, a regra para o número do dia é: "figuras que tenham 14 de área ou de perímetro" É infinito o número de figuras planas com área ou perímetro 14 (unidades de área e unidades de comprimento, respetivamente), mesmo que nos limitemos a medidas inteiras.  Mas se considerarmos apenas retângulos, com medidas inteiras, então encontramos poucos. Se pudermos usar medidas racionais (inteiras e fracionárias), então já teremos uma quantidade infinita de retângulos com 14 unidades de área, ou com perímetro de 14 unidades de comprimento. Muito obrigado aos autores residentes, alun@s e professora, por esta partilha.

outra publicação sobre o 14

 

περίμετρος

περίμετρος - perímetro 

Número 72

Hoje é 12 de março de 2024 e é também dia 72 de 2024. 

As relações entre 12 e 72 são interessantes: 12 é divisor de 72 e é também o número de divisores de 72. São 6 os pares de divisores de 72, e 6 também é divisor de 72. Na decomposição em fatores primos temos o produto do cubo de 2 pelo quadrado de 3. 

Mantendo-nos em ℕ, aditivamente falando, é interessante referir que 72 é 

• a soma de dois quadrados de 6. 
• a soma de duas potências de base 2 e expoente inteiro: 64 + 8 = 2⁶ + 2³ sendo 1001000 a representação na base dois.
• com perímetro 72, existem 18 retângulos: 2×(L+C), L+C=36, L varia de 1 a 18 e C de 35 a 18 - um dos quais é quadrado de lado 18 (72 é múltiplo de 4).

Há uma particularidade na quantidade de partições, com 3 parcelas, de 72 que estão relacionadas com as de 12 e seus múltiplos:

• são exatamente 12 as partições (em 3 parcelas) de 12,
• as de 24 são o dobro de 24
• as de 36 são o triplo de 36
• ...
• as de 72 são o sêxtuplo de 72

e parece que esta regularidade "soma e segue".

Outra curiosidade: na espiral de Ulam, o 12 e o 72 estão enquadrados por primos.

O 71 também, mas ele já é primo - gémeo do 73 - e está no centro de um × e não de uma +.

72 e 12 são também números presentes em obras literárias muito famosas.

Número 69

Nove de março de 2024 é o 69.º dia do ano.

O número 69 tem três ESCADAS. 

Por ser um número ímpar tem uma escada de dois degraus. E por ser um múltiplo de 3 tem uma escada de três degraus. Mas também tem uma escada de seis degraus e não é múltiplo de 6. Ele só é múltiplo de 3 e 23 e de 1 e 69. A representação dos números pelas suas ESCADAS não é uma mera curiosidade inocente, as escadas dão visibilidade a propriedades numéricas. Não querendo retirar ao leitor o prazer da descoberta, deixamos aqui só uma entre muitas questões possíveis: todos os números podem ser representados por escadas? Lembramos que uma escada é uma soma de números naturais consecutivos.

Tetraminós e Tetracubos

Muito obrigado à professora e seus alun@s do 4.º ano pela partilha da identificação dos cinco TETRAMINÓS, ou seja, cinco figuras planas, não congruentes, obtidas pela justaposição, lado a lado, de 4 quadrados iguais. Têm a certeza de que não há mais nenhum? Como?   O desafio que vos propomos agora é que encontrem todos os sólidos, não congruentes, que é possível construir com 4 cubos iguais justapostos face a face. Podemos chamar-lhes TETRACUBOS.  Um deles é:

Número 29

 29 de fevereiro não é todos os anos. Convidámos primos para a festa.

Não são lá muito bons em dança sincronizada, há sempre primos desalinhados. 

O bolo tinha dois Quadrados perfeitos.

5² + 2² = 29

mais sobre o 29

Número 23 e 27

 

Obrigado pela partilha, professora e alun@s do 2.º ano.

Clique aqui para ver mais publicações destes amig@s.

Número 21

 A invariância quociente:

Muito obrigado pela partilha, professora e alun@s do 4.º ano.

Número 20

 O dia 20 na sala do 3.º ano.

Muito obrigado pela partilha.

Número 15

 Hoje é dia 15 de fevereiro.

Mais uma partilha que agradecemos à professora e aos estudantes.

Número 1

Hoje partilhamos o registo do que resultou da atividade Número do Dia de alunos de 4.º ano.

Muito obrigado aos alunos e professora pela partilha.

 Pode ver outra publicação nossa  sobre o número 1 aqui.

Números 16 e 30 em aula

É muito enriquecedora a partilha do trabalho desenvolvido em aula 

- Número do Dia de alunos no 2.º ano nos dias 16 e 30 de janeiro. 

Muito obrigado aos alunos e professora por estes registos. 

Número 25

 

 

Aqui está o registo da rotina do Número do Dia 25 de janeiro dos alunos de um 4.º ano. Muito obrigado aos alunos e professora.   A descoberta de regularidades é um meio para a observação e o estabelecimento de regras operatórias.

Tarefa do Dia - Desafio

 A Inês é uma bebé prematura e tem 32 dias.

Quantas semanas inteiras tem?

De quatro em quatro dias tem de ser pesada. Quantas pesagens já foram feitas?

Pretende-se com esta tarefa, relacionar a sua resolução com a identidade fundamental da divisão inteira. De acordo com esta identidade, 32 = 4 x 7 + 4. O resto da divisão inteira de 32 por 7 é 4; contudo não se pode fazer afirmação idêntica para o divisor 4, porque a parcela de valor 4 não é inferior a 4.

 

Número 16

 Com um agradecimento especial à professora que teve a amabilidade de partilhar connosco

o número do dia 16 de janeiro pela voz dos seus estudantes no 1.º ano de escolaridade.

Tarefa do dia - Descobrir regularidades

Considere dois quaisquer números inteiros positivos consecutivos n e n+1. O que pode ser afirmado sobre:

• a sua soma?
• o seu produto?

Pretende-se com estas questões desenvolver a capacidade de identificar regularidades, promover o estabelecimento de conjeturas e efetuar generalizações utilizando variável.

Tarefa do dia

Qual é o menor número que é o produto de 11 por um número de 2 algarismos?

Qual é o maior número que é o produto por 11 por um número:

• de 3 algarismos? 
• de 4 algarismos?
• de 5 algarismos?

...

Número 11

É número ímpar e número primo.

Existe um infinidade de retângulos cuja área mede 11 unidades de área (u.a.) mas com dimensões (comprimento e largura) inteiras só existe um, de 1 por 11.

Também existe uma infinidade de retângulos cujo perímetro mede 11 unidades de comprimento (u.c.), mas não é possível construir um com medidas inteiras.

Assim como é possível construir uma infinidade de triângulos cujo perímetro é 11 u.c. No entanto, com medidas inteiras só conseguimos construir os que se veem na imagem. O palito é a u.c.

Número 10

 ·  é o 5.º número natural par (quinto porque 0, embora seja um número par, não o consideramos número natural)

              números de ordem:  1.º  2.º  3.º  4.º   5.º   6.º ...

     números naturais pares:  2     4     6     8     10   12  ...

• qualquer número par é o dobro de um número inteiro
• é um múltiplo de 2 
• pode ser representado por um retângulo de duas filas de quadrados congruentes

· tem um número par de fatores/divisores

D10 = {1, 2, 5, 10} é múltiplo de  1 e 10  2 e 5

 

Decomposição aditiva em duas parcelas  saber essencial para o domínio de processos de cálculo mental