Número 30

De entre as 75 decomposições diferentes de 30 em somas de três parcelas de números naturais, há 18 que podem constituir-se como triângulos, sendo as medidas dos lados números inteiros. Desses 18 triângulos possíveis, 7 são isósceles e 11 são escalenos; dos que são isósceles há um que é equilátero (10+10+10), e dos escalenos destaca-se um que é retângulo (5+12+13).

 

Medidas dos lados			Quadrados dos lados
a	b	c	a2	b2	c2	a2+b2
10	10	10	100	100	100	200
2	14	14	4	196	196	200
4	13	13	16	169	169	185
6	12	12	36	144	144	180
8	8	14	64	64	196	128
8	11	11	64	121	121	185
9	9	12	81	81	144	162
4	12	14	16	144	196	160
5	11	14	25	121	196	146
6	10	14	36	100	196	136
6	11	13	36	121	169	157
7	9	14	49	81	196	130
7	10	13	49	100	169	149
7	11	12	49	121	144	170
8	9	13	64	81	169	145
8	10	12	64	100	144	164
9	10	11	81	100	121	181
5	12	13	25	144	169	169

Por permitirem construir um triângulo retângulo, 5, 12 e 13 são um "terno pitagórico" e 30 é o seu perímetro. Dentro do intervalo de dias num mês, para além do 30 há outros dois números que são perímetro de triângulos em é possível construir um triângulo retângulo: o 12 com o terno 3, 4, 5 e o 24 com o terno 6, 8, 10. 

Número 29

29 é um número primo. Vejamos um processo muito interessante para encontrar os primeiros números primos - o crivo de Eratóstenes - além de permitir identificar os números primos, ajuda a entender o que são.

29 é a hipotenusa de um triângulo retângulo com medidas inteiras no comprimento dos seus lados: 20 unidades de comprimento (u.c.) para o cateto menor, 21 para o segundo cateto e 29 para a hipotenusa.

Os números 20, 21 e 29 são um terno pitagórico, i.e., três números inteiros que verificam a igualdade no teorema de Pitágoras: 20²+21²=29².

Número 28

 Há três retângulos de dimensões inteiras com área 28.

As medidas das dimensões destes retângulos são fatores/divisores de 28, formando o seguinte conjunto D28 = {1, 28, 2, 14, 4, 7}

• 28 múltiplo de 1 e 28, de 2 e 14, de 4 e 7

• por ser múltiplo de 2 é um número par

• e por ter mais do que um par de fatores distintos não é número primo.

É soma dos seus divisores próprios 1+2+4+7+14, o que lhe confere o título de número perfeito

É soma de três potências de base dois e expoente inteiro consecutivas 4+8+16 = 2²+2³+2⁴

É soma dos sete primeiros números naturais; por isso é um número triangular, e essa representação triangular é a sua única escada.

Número 27

Representação em escada

27 tem três escadas:

• de dois degraus 13+14. A soma de dois números consecutivos é sempre ímpar.

• e três degraus 8+9+10. A soma de três números consecutivos é um múltiplo de 3.

• de seis degraus 2+3+4+5+6+7. Se a soma de três números consecutivos é um múltiplo de 3, então a soma de seis números consecutivos também é um múltiplo de 3. Não é múltiplo de 6 porque todo o múltiplo de 6 é par e 27 não é.

Não tem escadas de quatro nem de cinco degraus, uma vez que 

• a soma de quatro números consecutivos é sempre um número par, e 27 não é.
• a soma de cinco números consecutivos é sempre um múltiplo de 5, e 27 não é.

Representação em área retangular

Há dois retângulos de dimensões inteiras com área 27 - os retângulos 1 × 27 e 3 × 9.

As medidas das dimensões destes retângulos são fatores/divisores de 27, formando o seguinte conjunto D27 = {1, 27, 3, 9}

27 é múltiplo de 9 e de 3, de 27 e de 1. Não é, portanto, número primo: tem mais do que um par de fatores/divisores distintos.

Relações numéricas envolvendo 27

Número 26

mathlearningcenter.org

Só há duas decomposições de 26 num produto de fatores (naturais):

• 1 × 26     vinte e seis é múltiplo de 1 e 26
• 2 × 13     vinte e seis é múltiplo de 2 e 13

Uma vez que é múltiplo de 2 então é um número par.

O conjunto dos divisores de vinte e seis é D26 = {1, 26, 2, 13}

Como tem mais do que um par de divisores distintos, não é um número primo.

Relações numéricas envolvendo 26

Número 25

É um número natural ímpar, é soma de dois números naturais consecutivos 12+13.

É um quadrado perfeito, 5 × 5 = 5² = 25.

Os retângulos 1×25 e 5×5 apresentam os seus divisores formando o seguinte conjunto: 

D25 = {1, 25, 5}

Relações numéricas envolvendo 25

É metade de 50, ou seja, em linguagem matemática, 25 = 50 ÷ 2

É a quarta parte de 100,   25 = 1/4 × 100

É o quadrado de 5,    25 = 5² 

É a raiz quadrada de 625,

Como se pode multiplicar por 25?

Multiplicando por 100 e dividindo por 4 esse produto, como mostra o exemplo: 

2024 × 25 = ( 2024 × 100 ) ÷ 4 = 

                    = 202400 ÷ 4 = 101200 ÷ 2 = 

                    = (100 000 + 1200 ) ÷ 2 = 

                    = 50 000 + 600 = 50 600

Como se pode dividir por 25?

Dividindo por 100 e multiplicando o quociente obtido por 4, como ilustra o exemplo:

2025 ÷ 25 = 2025 ÷ 100 x 4 = 20,25 × 4 = 40,5 × 2 = 81

Os múltiplos de 25 não superiores a 100 e não nulos são: 25, 50, 75 e 100.

De acordo com a propriedade transitiva da relação "múltiplo de", compreende-se que todo o múltiplo de 100 é também múltiplo de 25; pode compreender-se ainda que qualquer número natural superior a 100, se nas posições das dezenas e unidades figurar 00, 25, 50 ou 75, é um múltiplo de 25.

Número 24

 Siga na onda do 24

Número 23

 Um clique e será transportado para o mundo do 23

Número 22

                        22 = 1 × 22             22 = 11 × 2

                        22 ÷ 1 = 22             22 ÷ 11 = 2

                        22 ÷ 22 = 1             22 ÷ 2 = 11

                        tem dois pares de fatores/divisores, 1 e 22, 2 e 11

                        é par porque é múltiplo de 2, ou divisível por 2

Número 21

 Número 21 em ℕ

21 é um número ímpar; é a soma de dois naturais consecutivos: 10+11

     é um número composto; tem mais que um par de fatores/divisores distintos

     é um múltiplo de 3; é o perímetro de um triângulo equilátero com lado 7; 

                                           é a área de um retângulo de 3 por 7

                                            é também múltiplo de 7, de 1 e 21

Tem três escadas: uma com 2 degraus, outra com 3 e ainda uma com 6.

É um termo da sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

É um termo da sequência dos números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21,...

Número 20

Número 19

• é ímpar: não pode ser representado

• por um retângulo de área 2×n, n ∈ ℕ

• como perímetro de retângulo de dimensões inteiras

• é primo: só tem uma representação

• em retângulo de dimensões inteiras e área 19= 1×19

• em escada – dois degraus: 9+10

Número 18

Representação decimal:

Representação Binária:

                    na base dois:   10000 + 10   =   10010

                     na base dez:         2⁴    + 2¹

 

Dezoito tem duas escadas, uma delas de 3 degraus.  

Os números maiores que 3 com escadas de 3 degraus têm outra propriedade em comum:  - são múltiplos de 3.

Dezoito é múltiplo de que números?

Número 17

 

8+9 é a escada de 2 degraus do 17 17 é um número primo porque só possui uma escada, que tem apenas 2 degraus (o 2 é uma exceção, é primo mas não tem escada)   17 é número ímpar pois é soma de dois números consecutivos Outras decomposições destacando o 10 10 + 7        10 + 6+1          10 + 1+6 10 + 5+2          10 + 2+5 10 + 4+3          10 + 3+4

Número 16

Retângulos de área 16 e dimensões inteiras:

Todos os fatores/divisores de 16 são potências de base 2 e expoente natural.

Representação binária: 2⁴

 

Tarefa do dia

15 como parcela                                                        15 como produto

Completa:

data do teu nascimento + _________  = 15              data do teu nascimento × _________ = 15

Por quanto tens de dividir a data do teu nascimento para obteres 15?

Número 15

As escadas do 15 são três: com cinco, três e dois degraus como ilustrado na imagem.

15 é ímpar: todos os números, maiores que 1, 

                                   com escadas de 2 degraus, são ímpares;  

            nenhum número par é soma de dois números consecutivos.

 As decomposições do 15 em somas de duas parcelas:

1+14  =  2+13  =  3+12  =  4+11  =  5+10  =  6+9  =  7+8  =  15

Número 14

Decomposições em duas parcelas

 

Número 13

É um número ímpar

Não é possível fazer um retângulo com duas filas de quadrados.

 

É um número primo

Com quadrados, apenas se consegue fazer um único retângulo.